2010-安徽卷文-17 解-椭圆方程与角平分线

本题导读

考查椭圆方程与角平分线。$a^2=16$，$b^2=12$，方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；$A{F}_1=5$，$A{F}_2=3$，$x_D=\frac{1}{2}$，角平分线 $2x-y-1=0$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 椭圆 $E$ 经过点 $A(2,3)$，对称轴为坐标轴，焦点 $F_1$，$F_2$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{1}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程；

(2) 求∠$F_{1}A{F}_2$ 的角平分线所在直线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$e=c/a=1/2$，则 $b^2=3a^2/4$。
2. 代入 $A(2,3)$：$4/a^2+9/(3a^2/4)=1$，得 $a^2=16$，$b^2=12$。
3. $c=2$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，$A{F}_1=5$，$A{F}_2=3$。
4. 角平分线交 $F_1{F}_2$ 于 $D(x_D,0)$：$\frac{x_D+2}{2-x_D}=\frac{5}{3}$，$x_D=\frac{1}{2}$。
5. 过 $A(2,3)$ 与 $D(1/2,0)$：斜率 $2$，直线 $2x-y-1=0$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

(2) $2x-y-1=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦距为 $2c$. 由 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=2c$，从而 $b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}.$ 将点 $A(2,3)$ 代入椭圆方程， $\frac{4}{a^2}+\frac{9}{\frac{3a^2}{4}}=1,\text{即}\frac{16}{a^2}=1,$ 所以 $a^2=16$，$b^2=12$. 因此椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.$ (2) 由 $c=2$，得 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$. 在△$F_{1}A{F}_2$ 中， $A{F}_1=\sqrt{(2+2{)}^2+3^2}=5,A{F}_2=\sqrt{(2-2{)}^2+3^2}=3.$ 设∠$F_{1}A{F}_2$ 的角平分线交 $F_1{F}_2$ 于点 $D(x_D,0)$，由角平分线定理， $\frac{x_D+2}{2-x_D}=\frac{A{F}_1}{A{F}_2}=\frac{5}{3},$ 解得 $x_D=\frac{1}{2}$. 角平分线经过 $A(2,3)$ 与 $D\left(\frac{1}{2},0\right)$，其斜率为 $\frac{3-0}{2-\frac{1}{2}}=2,$ 所以所求直线方程为 $y-3=2(x-2)$，即 $2x-y-1=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与角平分线

核心方法：$e=\frac{1}{2}$ 化为 $a=2c$ 定 $b^2$，代入点定 $a^2$；角平分线定理定分点，两点式写直线

避坑指南：$b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}$ 而不是 $\frac{3}{4}a$；角平分线定理中比式 $\frac{F_{1}D}{D{F}_2}=\frac{A{F}_1}{A{F}_2}$ 的对应边不要接反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆方程小综合：离心率定形状，曲线上的点定大小。

结论推广：$A(2,3)$ 中 $F_2$ 横坐标恰为 $2$，使 $A{F}_2=3$ 退化为竖直距离，是本题的隐含便利。

方法推广：角平分线在 $x$ 轴上的分点坐标用定比分点公式最直接，写直线方程前先验两点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2011-安徽卷文-17 解-两直线相交与椭圆轨迹
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线