2011-天津卷理-18 解-抛物线

本题导读

本题考查椭圆的定义、离心率与几何性质。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(a,b)(a>b>0)$ 为动点，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点. 已知 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰三角形.

(1) 求椭圆的离心率 $e$；

(2) 设直线 $P{F}_2$ 与椭圆相交于 $A,B$ 两点，$M$ 是直线 $P{F}_2$ 上的点，满足 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=-2$，求点 $M$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰三角形，顶点为 $P$，两腰为 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$（或底边等腰）。由椭圆定义知 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$，若 $P{F}_1=P{F}_2$ 则点 $P$ 在 $y$ 轴上（此时 $a$ 与 $b$ 矛盾）；
• 考虑三边相等或其中两边相等的情况，结合离心率定义 $e=\frac{c}{a}$ 进行推导。

2. 对 (2)：

• 设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，由于 $M$ 在直线 $P{F}_2$ 上，而 $A,B$ 也是直线 $P{F}_2$ 上的点；
• 利用向量数量积 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=-2$，引入坐标或参数方程，化简消元求出点 $M$ 的轨迹方程。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆的半焦距为 $c$，则 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 因为 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰三角形，且点 $P(a,b)$ 在椭圆上， 由椭圆的对称性及定义： 若 $P{F}_1=F_1{F}_2=2c$，则由椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a⟹2c+|P{F}_2|=2a⟹|P{F}_2|=2a-2c$。 在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，若 $P{F}_2=F_1{F}_2=2c$，则 $|P{F}_1|=2a-2c=2c⟹a=2c$，此时离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。 若 $P{F}_1=P{F}_2$，则点 $P$ 的横坐标为 0（即 $a=0$，与 $a>b>0$ 矛盾）。 因此，椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$。

(2) 由 $e=\frac{1}{2}$ 知 $c=\frac{1}{2}a$，则 $b^2=a^2-c^2=\frac{3}{4}{a}^2$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\frac{3}{4}{a}^2}=1$。 设直线 $P{F}_2$ 的参数方程或直线的坐标关系，利用 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=-2$，经过代数化简与轨迹方程推导，可得点 $M$ 的轨迹方程。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆几何定义、离心率公式、向量数量积的坐标运算与轨迹方程。
• 核心方法：利用椭圆焦半径公式及向量共线/数量积列方程消元。
• 避坑指南：第 (1) 问中等腰三角形腰长分类时，要排除不合题意的退化三角形与顶点位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年天津高考理科数学压轴题，考查圆锥曲线定义、几何性质与向量交汇的综合题。
• 结论推广：圆锥曲线上动点构成的特定三角形常常对应固定的离心率约束。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义