2011-安徽卷文-07 单-交错数列分组求和

本题导读

本题考查数列的通项公式，以及相邻两项分组求和。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=(-1{)}^n\cdot (3n-2)$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_{10}=$ ()

A. $15$　　　　　　B. $12$　　　　　　C. $-12$　　　　　　D. $-15$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：相邻两项（一奇一偶）配对求和
2. 步骤2：每组为定值 $3$
3. 步骤3：共 $5$ 组

✅【答案】

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A$15$

✍【详细解析】

Abstract

当 $n$ 为奇数时 $a_n=-(3n-2)$；当 $n$ 为偶数时 $a_n=3n-2$。

相邻两项配对（第 $2k-1$ 项与第 $2k$ 项）：

$a_{2k-1}+a_{2k}=-(6k-5)+(6k-2)=3$，与 $k$ 无关。

前 $10$ 项共 $5$ 对，故 $a_1+a_2+\cdots +a_{10}=5\times 3=15$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$(-1{)}^n$ 型交错数列；相邻两项分组求和

核心方法：按奇偶把通项写成两段，相邻一负一正配对，每对的和为常数

避坑指南：$(-1{)}^n$：$n$ 为奇数时取 $-1$、偶数时取 $+1$，别把符号配反（若配反每组和为 $-3$，恰好误选 D）；本题前 $10$ 项恰好偶数项，可完整配对，若求前 $11$ 项和还需单独补最后一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：交错数列求和题与 2011-重庆卷文-16、2012-上海卷文-18、2011-北京卷文-12 同族。

结论推广：推广：$a_n=(-1{)}^{n}f(n)$ 型（$f$ 为等差），相邻两项和 $a_{2k-1}+a_{2k}=f(2k)-f(2k-1)$，若 $f$ 为一次函数则为定值；一般地 $f(2k)-f(2k-1)=f^{\prime }$ 的步长（等差时即公差的二倍关系需按具体式子算）。

方法推广：含 $(-1{)}^n$ 的数列：第一反应按奇偶分段，再看能否相邻配对消化符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2012-上海卷文-18 单-正弦数列符号计数