2011-安徽卷文-13 填-根式函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 函数 $y=\frac{1}{\sqrt{6-x-x^2}}$ 的定义域是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：被开方数作分母：$6-x-x^2>0$
2. 步骤2：因式分解 $(x+3)(x-2)<0$

✅【答案】

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$(-3,2)$

✍【详细解析】

Abstract

根式作分母，被开方数必须严格大于零：$6-x-x^2>0$。

即 $x^2+x-6<0$，因式分解 $(x+3)(x-2)<0$。

解得 $-3<x<2$，故定义域为 $(-3,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$\frac{1}{\sqrt{g(x)}}$ 的定义域要求 $g(x)>0$（严格）；一元二次不等式”两根之间”

核心方法：列约束 $\to$ 移项化标准形 $\to$ 因式分解 $\to$ 开口向上取两根之间

避坑指南：带分母的根式是"$>0$"而不是"$⩾0$"——写成 $6-x-x^2⩾0$ 会错把端点 $-3$，$2$ 包进来；移项后是 $x^2+x-6<0$（开口向上），解集在两根之间，别写成”两根之外”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义域题与 2011-广东卷文-05、2011-江西卷文-03、2013-重庆卷文-03 同族。

结论推广：推广：$\sqrt{g(x)}$ 要求 $g(x)⩾0$，$\frac{1}{\sqrt{g(x)}}$ 要求 $g(x)>0$，$\frac{h(x)}{\sqrt{g(x)}}$（$h$ 可为零）要求 $g(x)>0$；分母与等号的关系是定义域题最常见扣分点。

方法推广：定义域题按”根号、分母、真数、零次幂”逐条列约束，最后取交集并用区间规范书写。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-05 单-二次不等式解集
• 2011-江西卷文-03 单-对数定义域与分母非零
• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域