2011-安徽卷文-21 解-等比数列与正切差角求和

本题导读

本题考查等比数列的通项，以及对数运算。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 在数 $1$ 和 $100$ 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n+2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n+2$ 个数的乘积记作 $T_n$，再令 $a_n=\lg T_n$，$n⩾1$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $b_n=\tan a_n\cdot \tan a_{n+1}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $q^{n+1}=100$ 定 $q$
2. 步骤2：指数求和得 $T_n=10^{n+2}$
3. 步骤3：$a_n=n+2$
4. 步骤4：(2) 用 $\tan (a_j-a_{j+1})=\tan (-1)$ 把 $b_j$ 裂成相邻正切之差

✅【答案】

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(1)$a_n=n+2$

(2)$S_n=\frac{\tan (n+3)-\tan 3}{\tan 1}-n$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设公比为 $q$。首项 $1$、末项 $100$ 共 $n+2$ 项，故 $q^{n+1}=100=10^2$。

由递增知 $q>1$，$q=10^{\frac{2}{n+1}}$。

各项为 $1,q,q^2,\cdots ,q^{n+1}$，乘积

$T_n=q^{0+1+\cdots +(n+1)}=q^{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}={\left(10^{\frac{2}{n+1}}\right)}^{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}=10^{n+2}$。

故 $a_n=\lg T_n=\lg 10^{n+2}=n+2$。

（2） 由 $a_j=j+2$ 知 $a_j-a_{j+1}=-1$。

由正切差角公式：

$\tan (-1)=\tan (a_j-a_{j+1})=\frac{\tan a_j-\tan a_{j+1}}{1+\tan a_j\tan a_{j+1}}$，

整理得 $\tan a_j\tan a_{j+1}=\frac{\tan a_j-\tan a_{j+1}}{\tan (-1)}-1$。

于是（裂项相消）：

$S_n={\sum }_{j=1}^n\tan a_j\tan a_{j+1}=\frac{1}{\tan (-1)}{\sum }_{j=1}^n(\tan a_j-\tan a_{j+1})-n=\frac{\tan a_1-\tan a_{n+1}}{\tan (-1)}-n$。

代入 $a_1=3$，$a_{n+1}=n+3$ 及 $\tan (-1)=-\tan 1$，得

$S_n=\frac{\tan (n+3)-\tan 3}{\tan 1}-n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列：$q^{n+1}=$ 末项 $/$ 首项；指数求和 $0+1+\cdots +(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$；正切差角公式；裂项相消求和

核心方法：(1) 全程在对数世界与指数世界间转换：$T_n$ 用指数和求，$\lg$ 把积化和；(2) 关键是发现 $a_j-a_{j+1}$ 为常数 $-1$，用差角公式把乘积 $b_j$ 拆成相邻两项正切之差

避坑指南：$T_n$ 是 $n+2$ 项的乘积，指数是 $0+1+\cdots +(n+1)$ 共 $n+2$ 项、和为 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，项数与上标别错位；(2) 中裂项方向是"$\tan a_j-\tan a_{j+1}$"，相消后剩 $\tan a_1-\tan a_{n+1}$，再除以 $\tan (-1)=-\tan 1$ 时负号要翻转，漏掉会差一个符号；$n⩾1$ 保证 $a_n$，$b_n$ 有意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列与三角裂项综合题与 2011-北京卷文-12、2011-四川卷文-20、2011-重庆卷文-16 同族。

结论推广：推广：一般地，若 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}-a_n=d$（常数），则 $\tan a_n\tan a_{n+1}=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{\tan d}-1$（当 $d$ 使 $\tan d$ 有意义），其中用到 $\tan a_{n+1}-\tan a_n=\tan d(1+\tan a_n\tan a_{n+1})$；这是”正切版裂项相消”，与 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的裂项同构。

方法推广：数列求和新模型：$b_n=f(a_n)f(a_{n+1})$ 型，找 $a_{n+1}-a_n$ 的常数性，用三角 $/$ 对数等函数方程把乘积拆成相邻差；书写时标明”裂项 $\to$ 求和 $\to$ 相消 $\to$ 代端点”四步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-重庆卷文-16 解-等比等差分组求和