本题导读
本题考查空间几何体的三视图，以及棱柱与圆柱的三视图特征。
📌【题干】
Question
（2011年山东卷(理)） 如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题： ① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ② 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图. 其中的真命题个数是 ()
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
🔍【思路分析】
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- 审视三视图投影规律：“长对正，高平齐，宽相等”。本题给定主视图与俯视图均为全等矩形。
- 对 ①：考虑直三棱柱横放，使其侧面在正视图和俯视图中分别投影为矩形。
- 对 ②：考虑底面为矩形或正方形的直四棱柱（如长方体）。
- 对 ③：考虑圆柱无论立放还是倒卧，必有一个视图为圆（或含圆弧），检验是否存在使主、俯视图皆为矩形的圆柱放置方式。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
- 命题 ①：存在底面为等腰直角三角形的直三棱柱。将其水平横放，使斜边所在的面水平放置作为底面（或顶面），直角边所在侧面分别正对正面和上方投影视线。此时其正视图为矩形，俯视图也为全等矩形，左视图为等腰直角三角形。故 ① 为真命题。
- 命题 ②：存在底面为正方形的长方体（直四棱柱），设长方体的长、宽、高满足长与宽相等，则其主视图与俯视图均为全等的矩形。故 ② 为真命题。
- 命题 ③：圆柱如果轴线垂直于水平面（立放），俯视图为圆；如果轴线水平放置（横卧），主视图若为矩形，则俯视图必为矩形（当轴线垂直于投影面时则主视图为圆）。特别地，当圆柱底面直径等于母线长（底面直径与高相等的圆柱），且轴线平行于侧投影面、与水平面和主投影面均倾斜 ？不是。只需将圆柱水平横放，轴线平行于纸面方向：此时正视图为矩形（边长为圆柱高与底面直径），从上往下看的俯视图也是一个矩形（长等于高，宽等于底面直径）。当圆柱高与底面直径相等时，俯视图与主视图完全一致。故 ③ 为真命题。 综上所述，①、②、③ 均为真命题，个数为 3。 故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：简单几何体（直棱柱、圆柱）在不同放置姿态下的三视图投影特征。
- 核心方法：构造特殊模型验证存在性（如横放三棱柱、标准长方体、横卧圆柱）。
- 避坑指南：
- 极易误认为圆柱的俯视图或主视图必有一个是圆，而忽略了“横放圆柱”时，主视图和俯视图可以同时为矩形（此时圆呈现在左视图上）；
- 三棱柱只要两直角边在投影面上对称或平齐，主俯视图内部无可见实棱线，皆可为纯粹的矩形外框。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：必修二空间几何体三视图视角转换与空间构型能力检测题。
- 结论推广：若一个几何体的主视图与俯视图均为全等矩形，其左视图可以是三角形（三棱柱）、梯形/矩形（四棱柱）、圆（圆柱）或任意平移柱体截面。
🔗【关联脉络】
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