2011-山东卷理-20 解-数列构造

本题导读

本题考查等比中项与等比数列通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2,a_3$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 $a_1,a_2,a_3$ 中的任何两个数不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=a_n+(-1{)}^n\ln a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：根据题意，$a_1\in \{3,2,10\}$，$a_2\in \{6,4,14\}$，$a_3\in \{9,8,18\}$，且三数不同列。利用等比中项性质 $a_2^2=a_1{a}_3$ 检验所有不同列的组合：

• 若选 $a_1=3$，则 $a_2\in \{4,14\}$：
• 当 $a_2=4$ 时，需 $a_3=18$（第三列），此时 $a_2^2=16\ne 3\times 18=54$；
• 当 $a_2=14$ 时，需 $a_3=8$（第二列），此时 $a_2^2=196\ne 3\times 8=24$；
• 若选 $a_1=10$，同理可排除；
• 若选 $a_1=2$（第二列），则 $a_2\in \{6,14\}$：
• 若 $a_2=6$（第一列），需 $a_3=18$（第三列），验证 $a_2^2=36=2\times 18=a_1{a}_3$，完全成立。确定 $a_1=2,q=3$，写出通项 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$。

2. 对 (2)：拆分为 $b_n=a_n+c_n$，其中 $a_n$ 为等比数列直接套用求和公式；$c_n=(-1{)}^n\ln a_n=(-1{)}^n[\ln 2+(n-1)\ln 3]$，采用按 $n$ 为偶数和奇数分段讨论（或并项法）求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，$a_1$ 是第一行的某个数，$a_2$ 是第二行的某个数，$a_3$ 是第三行的某个数，且 $a_1,a_2,a_3$ 位于不同列。 因为数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，所以必满足等比中项性质： $a_2^2=a_1{a}_3$

• 若 $a_1=3$（第一列）： 则 $a_2,a_3$ 只能在第二列和第三列中选取， 可能的情况为： ① $a_2=4,a_3=18$，此时 $a_2^2=16$，$a_1{a}_3=3\times 18=54\ne 16$，不满足； ② $a_2=14,a_3=8$，此时 $a_2^2=196$，$a_1{a}_3=3\times 8=24\ne 196$，不满足。
• 若 $a_1=10$（第三列）： 则 $a_2,a_3$ 只能在第一列和第二列中选取， 可能的情况为： ① $a_2=6,a_3=8$，此时 $a_2^2=36$，$a_1{a}_3=10\times 8=80\ne 36$，不满足； ② $a_2=4,a_3=9$，此时 $a_2^2=16$，$a_1{a}_3=10\times 9=90\ne 16$，不满足。
• 若 $a_1=2$（第二列）： 则 $a_2,a_3$ 只能在第一列和第三列中选取， 可能的情况为： ① $a_2=14,a_3=9$，此时 $a_2^2=196$，$a_1{a}_3=2\times 9=18\ne 196$，不满足； ② $a_2=6,a_3=18$，此时 $a_2^2=36$，$a_1{a}_3=2\times 18=36$，满足条件。

因此： $a_1=2,a_2=6,a_3=18$ 数列 $\{a_n\}$ 的公比为： $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2}=3$ 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=2\cdot 3^{n-1}$

(2) 由 (1) 知 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$， 所以： $\ln a_n=\ln (2\cdot 3^{n-1})=\ln 2+(n-1)\ln 3$ 则： $b_n=a_n+(-1{)}^n\ln a_n=2\cdot 3^{n-1}+(-1{)}^n\ln 2+(-1{)}^n(n-1)\ln 3$ 设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，采用分组求和法： $S_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k\ln a_k$ 其中等比数列的前 $n$ 项和为： ${\sum }_{k=1}^n{a}_k=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=3^n-1$ 记 $T_n={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k\ln a_k$： $T_n=-\ln a_1+\ln a_2-\ln a_3+\ln a_4-\cdots +(-1{)}^n\ln a_n$

① 当 $n$ 为偶数时，设 $n=2m$（$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）： 对 $T_n$ 进行相邻两项并项： $T_n=(\ln a_2-\ln a_1)+(\ln a_4-\ln a_3)+\cdots +(\ln a_{2m}-\ln a_{2m-1})$ 因为 $\frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=q=3$，所以每一组： $\ln a_{2k}-\ln a_{2k-1}=\ln \frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=\ln 3$ 共有 $m=\frac{n}{2}$ 组，所以： $T_n=\frac{n}{2}\ln 3$ 此时： $S_n=3^n-1+\frac{n}{2}\ln 3$

② 当 $n$ 为奇数时（$n⩾1$）： $T_n=T_{n-1}+(-1{)}^n\ln a_n=T_{n-1}-\ln a_n$ 因为 $n-1$ 为偶数，代入偶数结果得： $T_{n-1}=\frac{n-1}{2}\ln 3$ 又 $\ln a_n=\ln 2+(n-1)\ln 3$，所以： $T_n=\frac{n-1}{2}\ln 3-[\ln 2+(n-1)\ln 3]=-\ln 2-\frac{n-1}{2}\ln 3$ 此时： $S_n=3^n-1-\ln 2-\frac{n-1}{2}\ln 3$

综上所述，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $S_n=\{\begin{array}{ll}{3}^n-1+\frac{n}{2}\ln 3,& n\text{ 为偶数}\\ 3^n-1-\ln 2-\frac{n-1}{2}\ln 3,& n\text{ 为奇数}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：数表信息提取与分类讨论、等比中项判别、对数运算法则、分组求和与并项法。
• 核心方法：
• 第 (1) 问根据 $a_2^2=a_1{a}_3$ 针对列限制快速排除伪解（一共仅 $3!=6$ 种选法，验证量极小）；
• 第 (2) 问交错符号数列的和 $\sum (-1{)}^k\ln a_k$ 利用两两并项 $\ln a_{2k}-\ln a_{2k-1}=\ln q$ 秒解偶数项和，再通过 $T_n=T_{n-1}+b_n$ 递推奇数项。
• 避坑指南：
• 分类讨论第 (2) 问时，偶数与奇数情况必须完整分段书写，并检验 $n=1$ 时 $S_1=b_1=2-\ln 2$ 是否与公式吻合；
• 化简 $\ln a_n$ 时注意乘积拆为对数和，避免指数运算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-2/必修五矩阵表格与数列性质融合的创新试题，结合了数阵选数与阿贝尔交错求和模型。
• 结论推广：对任意等比数列 $\{a_n\}$（公比为 $q$），交错和 ${\sum }_{k=1}^{2m}(-1{)}^k\ln a_k$ 恒为常数步长的等差并项和，即恒等于 $m\ln q=\frac{n}{2}\ln q$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和