2011-新课标卷文-02 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 复数 $\frac{5\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=$ ()

A. $2-\mathrm{i}$　　　　　B. $1-2\mathrm{i}$　　　　　C. $-2+\mathrm{i}$　　　　　D. $-1+2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分子分母同乘 $1+2\mathrm{i}$：$\frac{5\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})}{5}=\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})=-2+\mathrm{i}$

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

分子、分母同乘 $1+2\mathrm{i}$，得 $\frac{5\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=\frac{5\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})}{5}=\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})=-2+\mathrm{i}$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；${\mathrm{i}}^2=-1$

核心方法：乘共轭复数后先约分再展开，$\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})=\mathrm{i}+2{\mathrm{i}}^2=-2+\mathrm{i}$

避坑指南：$5\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})=5\mathrm{i}+10{\mathrm{i}}^2=-10+5\mathrm{i}$，除以 $5$ 得 $-2+\mathrm{i}$；把 ${\mathrm{i}}^2$ 当成 $1$ 会得 $2+\mathrm{i}$ 错选相近项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法运算题，与 2012 年天津卷文第 1 题、2012 年山东卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{a\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{a\mathrm{i}(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$；纯虚数分子先约分常能一步出结果。

方法推广：复数除法固定套路：上下同乘分母共轭 → 分母变实数 → 展开合并 → 对照选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-山东卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算