2011-新课标卷理-14 填-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的第一定义，以及焦点三角形周长与长轴关系。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_1、F_2$ 在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过 $F_1$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A、B$ 两点，且 $△AB{F}_2$ 的周长为 16，那么 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据椭圆第一定义，弦长与两焦点构成的焦点三角形 $△AB{F}_2$ 周长为 $4a$。
2. 由周长为 16 求得 $a=4$。
3. 结合离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 求出 $c$ 与 $b^2=a^2-c^2$，写出焦点在 $x$ 轴上的标准方程。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$

✍【详细解析】

Abstract

因为直线 $l$ 过焦点 $F_1$ 且交椭圆于 $A,B$ 两点， 由椭圆的第一定义得： $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a,|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$ $△AB{F}_2$ 的周长为： $|AB|+|A{F}_2|+|B{F}_2|=(|A{F}_1|+|B{F}_1|)+|A{F}_2|+|B{F}_2|=(|A{F}_1|+|A{F}_2|)+(|B{F}_1|+|B{F}_2|)=2a+2a=4a$ 由已知 $△AB{F}_2$ 的周长为 16，得： $4a=16⟹a=4⟹a^2=16$ 又已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以： $c=\frac{\sqrt{2}}{2}a=2\sqrt{2}⟹c^2=8$ 由 $b^2=a^2-c^2$ 得： $b^2=16-8=8$ 因为焦点在 $x$ 轴上，所以椭圆 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ 故答案为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点弦围成三角形的周长模型 ${\mathcal{C}}_{△AB{F}_2}=4a$。
• 核心方法：定义法转化，将折线段和拆分为两个动点分别到两焦点的距离之和。
• 避坑指南：必须注意焦点所在的坐标轴（题目已指明“在 $x$ 轴上”），不要写成焦点在 $y$ 轴的标准方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自人教版教材解析几何中椭圆焦点三角形与焦点弦的经典基础定理。
• 结论推广：对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，任一条过焦点 $F_1$ 的弦 $AB$ 与另一焦点 $F_2$ 构成的三角形周长恒为定值 $4a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程