2008-山东卷文-02 单-共轭复数与除法

本题导读

$z+\bar{z}=4$ 给出实部 $2$，$z\bar{z}=|z{|}^2=8$ 给出虚部 $\pm 2$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 设 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$，若 $z+\bar{z}=4$，$z\cdot \bar{z}=8$，则 $\frac{z}{\bar{z}}$ 等于()

A. $i$　　　　　　　B. $-i$　　　　　　　C. $\pm 1$　　　　　　　D. $\pm i$

🔍【思路分析】

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$z=2\pm 2i$，$\frac{z}{\bar{z}}=\frac{(2+2i{)}^2}{(2-2i)(2+2i)}=\frac{8i}{8}=i$，另一支为 $-i$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $z+\bar{z}=2a=4$，$a=2$；$z\bar{z}=a^2+b^2=8$，$b^2=4$，$b=\pm 2$. 当 $z=2+2i$ 时，$\frac{z}{\bar{z}}=\frac{2+2i}{2-2i}=\frac{(2+2i{)}^2}{8}=\frac{8i}{8}=i$；当 $z=2-2i$ 时得 $-i$. 故 $\frac{z}{\bar{z}}=\pm i$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭复数与复数除法

核心方法：$z+\bar{z}$ 定实部、$z\bar{z}=|z{|}^2$ 定模，写出 $z$ 后分母实数化

避坑指南：$$\begin{gathered} z \\ barz=|z{|}^2 \end{gathered}$$ 是实数，别误当 $z^2$；除法分子分母同乘共轭，$(2+2i{)}^2=8i$ 展开细心

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭复数与模的综合是复数小题主干（2010 上海文 4、2010 山东文 2）

结论推广：推广到 $z$ 为纯虚数、$|z|=1$ 等情形，用 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 统一处理

方法推广：“和定实部、积定模”两步定复数，再按除法分母实数化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-04 填-共轭复数运算
• 2009-浙江卷文-03 单-复数代数运算
• 2010-山东卷文-02 单-复数运算与相等
• 2011-江西卷文-01 单-复数四则运算