2011-江西卷理-10 单-轨迹问题

本题导读

本题考查轨迹问题与动点轨迹，以及内摆线与圆的滚动运动学。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁逆时针方向滚动，$M$ 和 $N$ 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁一周，点 $M,N$ 在大圆内所绘出的图形大致是 ()

🔍【思路分析】

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1. 建立平面直角坐标系，设大圆半径为 $R=1$，小圆半径为 $r=\frac{1}{2}$。
2. 建立小圆圆周上动点的参数方程（内摆线 Hypocycloid）。
3. 代入 $R=2r$ 的特例，化简参数方程判定轨迹图形。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

以大圆圆心为原点 $O$ 建立平面直角坐标系。大圆半径 $R=1$，小圆半径 $r=\frac{1}{2}$。 设圆心连线与 $x$ 轴正半轴夹角为 $\theta$。 由两圆纯滚动无滑动知：滚动接触点走过的弧长相等，即 $R\theta =r\phi ⟹\phi =2\theta$（$\phi$ 为小圆自转角）。 小圆圆心坐标为 $O^{\prime }\left(\frac{1}{2}\cos \theta ,\frac{1}{2}\sin \theta \right)$。 在小圆圆周上取一点 $P$，其相对小圆圆心的转角为 $-(\phi -\theta )=-\theta$。 则点 $P$ 的坐标参数方程为： $x=\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\cos (-\theta )=\cos \theta$ $y=\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\sin (-\theta )=0$ 这表明圆周上该固定点在整个运动过程中恒在 $x$ 轴上的线段 $[-1,1]$ 内作往复简谐运动。 小圆直径另一端点与其相位差 $\pi$，同理也在同一条直线段上运动。 若初相不同（即夹角垂直的另一对端点或转动初始相位差 $\frac{\pi }{2}$），动点则沿 $y$ 轴线段运动。 因 $M,N$ 为同一固定直径的两个端点，它们共线于小圆中心两端，在滚动过程中始终分别在大圆互相垂直的直径上往复运动，遍历整条直径线段。 因此点 $M,N$ 绘制出的图形为互相垂直的线段。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：小圆半径恰好为大圆半径一半时，小圆圆周上任意一点的轨迹退化为大圆的一条直径（卡达诺圆定理）。
• 核心方法：构建向量坐标或运用特殊点追踪（小圆中心绕大圆圆心作匀速圆周运动，动点绕小圆中心反向双倍角自转）。
• 避坑指南：容易凭直觉选星形线（B），注意星形线对应的是 $R=4r$（四尖瓣内摆线），而当 $R=2r$ 时内摆线退化为直线段。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自经典运动学与微分几何中的“图西双圆”（Tusi couple）机械结构与内摆线退化问题。
• 结论推广：内摆线参数方程为 $x=(R-r)\cos \theta +r\cos \left(\frac{R-r}{r}\theta \right)$，$y=(R-r)\sin \theta -r\sin \left(\frac{R-r}{r}\theta \right)$。当 $R=2r$ 时，$x=2r\cos \theta$，$y=0$，动点轨迹退化为长度为 $2R$ 的线段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程