2011-湖北卷理-14 填-正射影

本题导读

本题考查正射影与空间直角坐标变换，以及二面角与平面射影性质。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 如图，直角坐标系 $xOy$ 所在的平面为 $\alpha$，直角坐标系 $x^{\prime }O{y}^{\prime }$（其中 $y^{\prime }$ 轴与 $y$ 轴重合）所在的平面为 $\beta$，$\angle xO{x}^{\prime }=45^{\circ }$.

(1) 已知平面 $\beta$ 内有一点 $P^{\prime }(2\sqrt{2},2)$，则点 $P^{\prime }$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $P$ 的坐标为$\underline{}$.

(2) 已知平面 $\beta$ 内的曲线 $C^{\prime }$ 的方程是 $(x^{\prime }-\sqrt{2}{)}^2+2y^{\prime 2}-2=0$，则曲线 $C^{\prime }$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $C$ 的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察两坐标系结构：公共交线为 $y$ 轴（即 $y^{\prime }$ 轴与 $y$ 轴完全重合），因此正射影下 $y$ 坐标保持不变，即 $y=y^{\prime }$。
2. 轴 $O{x}^{\prime }\subset \beta$ 在平面 $\alpha$ 内的射影位于轴 $Ox$ 上，且二面角 $\beta -Oy-\alpha$ 的平面角大小为 $\angle xO{x}^{\prime }=45^{\circ }$。根据射影几何长关系：$x=x^{\prime }\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^{\prime }$。
3. 对第 (1) 问直接代入坐标变换关系计算 $P$ 的坐标 $(x,y)$。
4. 对第 (2) 问反解出 $x^{\prime }=\sqrt{2}x$，$y^{\prime }=y$，代入原曲线方程即可化简得出投影曲线方程。

✅【答案】

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(1) $(2,2)$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交于 $y$ 轴（$y^{\prime }$ 轴），且二面角 $\beta -Oy-\alpha$ 的大小为 $45^{\circ }$。 对于平面 $\beta$ 内的任一点 $(x^{\prime },y^{\prime })$，其在平面 $\alpha$ 内的射影 $(x,y)$ 满足： $x=x^{\prime }\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^{\prime }$，且 $y=y^{\prime }$。 即坐标对应关系为： $\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^{\prime }\\ y=y^{\prime }\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\sqrt{2}x\\ y^{\prime }=y\end{array}$。

(1) 对于点 $P^{\prime }(2\sqrt{2},2)$： $x=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}=2$，$y=2$。 故点 $P^{\prime }$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $P$ 的坐标为 $(2,2)$。

(2) 将 $x^{\prime }=\sqrt{2}x$，$y^{\prime }=y$ 代入曲线 $C^{\prime }$ 的方程： $(\sqrt{2}x-\sqrt{2}{)}^2+2y^2-2=0$。 化简整理： $2(x-1{)}^2+2y^2=2⟹(x-1{)}^2+y^2=1$。

故填： (1) $(2,2)$； (2) $(x-1{)}^2+y^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间正射影变换、平行交线方向投影守恒与垂直交线方向压缩性。
• 核心方法：建立映射方程 $\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta \\ y=y^{\prime }\end{array}$，利用代入消元法求解迹方程。
• 避坑指南：第 (2) 问代入时须将已知方程中的自变量 $x^{\prime },y^{\prime }$ 用目标自变量 $x,y$ 表达（即反代法），切勿误将 $x$ 写成 $\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于画法几何与仿射变换理论中圆柱面与平面的截交线投影原理（倾斜截面为椭圆，底面射影为圆）。
• 结论推广：平面上的二次曲线在与棱平行的轴向投影长度不变，垂直棱的轴向长度按 $\cos \theta$ 比例压缩，因此离心率满足仿射变换对应关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲卷I文-16 填-翻折点面距离