2011-湖北卷理-19 解-数列递推

本题导读

本题考查数列的递推关系式。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=a$ ($a\ne 0$)，$a_{n+1}=r{S}_n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$r\in \mathbf{R}$，$r\ne -1$).

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若存在 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，使得 $S_{k+1},S_k,S_{k+2}$ 成等差数列，试判断：对于任意的 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $m⩾2$，$a_{m+1},a_m,a_{m+2}$ 是否成等差数列，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ 将递推式转化为 $S_n$ 的等比关系，或利用差分 $a_{n+1}-a_n=r(S_n-S_{n-1})=r{a}_n$ 推出自第 2 项起成等比数列，结合首项写出分段或统一的通项公式。
2. 第 (2) 问：根据 $S_{k+1},S_k,S_{k+2}$ 成等差数列，由等差中项关系列出等式 $2S_k=S_{k+1}+S_{k+2}$，转化为关于 $a_{k+1},a_{k+2}$ 的关系并利用第 (1) 问结论确定参数 $r$ 的值；再代入检验 $2a_m$ 与 $a_{m+1}+a_{m+2}$ 是否恒等。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，且 $a_{n+1}=r{S}_n$， 所以 $S_{n+1}-S_n=r{S}_n$，即 $S_{n+1}=(r+1)S_n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。 又因为 $S_1=a_1=a\ne 0$，且 $r\ne -1$， 所以数列 $\{S_n\}$ 是以 $a$ 为首项，公比为 $r+1$ 的等比数列。 故 $S_n=a(r+1{)}^{n-1}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。

当 $n=1$ 时，$a_1=a$； 当 $n⩾2$ 时， $a_n=r{S}_{n-1}=r\cdot a(r+1{)}^{n-2}=ar(r+1{)}^{n-2}$。

若 $r=0$，则 $a_1=a$；当 $n⩾2$ 时，$a_n=0$。 若 $r\ne 0$，当 $n=1$ 时，$ar(r+1{)}^{-1}\ne a$，故无法合并。 综上所述，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=\{\begin{array}{ll}a,& n=1,\\ ar(r+1{)}^{n-2},& n⩾2.\end{array}$

(2) 结论：对于任意的 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $m⩾2$，$a_{m+1},a_m,a_{m+2}$ 成等差数列。 证明如下： 由题意，存在 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 使得 $S_{k+1},S_k,S_{k+2}$ 成等差数列， 所以 $2S_k=S_{k+1}+S_{k+2}$。 将 $S_n=a(r+1{)}^{n-1}$ 代入，得： $2a(r+1{)}^{k-1}=a(r+1{)}^k+a(r+1{)}^{k+1}$。 因为 $a\ne 0$ 且 $r+1\ne 0$，两边同除以 $a(r+1{)}^{k-1}$，得： $2=(r+1)+(r+1{)}^2$， 即 $(r+1{)}^2+(r+1)-2=0$。 解得 $r+1=1$ 或 $r+1=-2$，即 $r=0$ 或 $r=-3$。

① 若 $r=0$： 由 (1) 知，当 $m⩾2$ 时，$a_m=0$，$a_{m+1}=0$，$a_{m+2}=0$。 此时 $a_{m+1}+a_{m+2}=0=2a_m$， 所以 $a_{m+1},a_m,a_{m+2}$ 成等差数列。

② 若 $r=-3$： 当 $m⩾2$ 时，$a_m=-3a(-2{)}^{m-2}$。 则： $a_{m+1}+a_{m+2}=-3a(-2{)}^{m-1}+[-3a(-2{)}^m]$ $=-3a(-2{)}^{m-2}\cdot [(-2)+(-2{)}^2]$ $=-3a(-2{)}^{m-2}\cdot (-2+4)$ $=-3a(-2{)}^{m-2}\cdot 2$ $=2a_m$。 所以 $a_{m+1},a_m,a_{m+2}$ 成等差数列。

综上所述，对于任意的 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $m⩾2$，$a_{m+1},a_m,a_{m+2}$ 均成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由 $a_n$ 与 $S_n$ 的递推关系转化为 $\{S_n\}$ 的等比数列、等差中项判定定理。
• 核心方法：利用 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 将混合递推转化为纯和式递推；通过同除公共指数因式求得常数参数。
• 避坑指南：第 (1) 问通项公式在 $n=1$ 与 $n⩾2$ 时通常不兼容，切勿强行合并为统一形式导致错误；第 (2) 问 $r=0$ 的退化情况不可漏讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：本题源自高考经典数列递推求通项模型，融入了等差、等比数列的性质交叉与存在性逻辑探究。
• 结论推广：若数列 $\{S_n\}$ 为等比数列且公比为 $q$，则任意三项 $S_{k+1},S_k,S_{k+2}$ 成等差数列等价于 $q^2+q-2=0$，该结论只由特征方程的根决定，与指标 $k$ 无关，具有平移不变性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式