2011-湖北卷理-20 解-参数方程

本题导读

本题考查轨迹方程的求解。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 平面内与两定点 $A_1(-a,0)$，$A_2(a,0)$ ($a>0$) 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_1,A_2$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2) 当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m\in (-1,0)\cup (0,+\infty )$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1,F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $△F_{1}N{F}_2$ 的面积 $S=|m|a^2$？若存在，求 $\tan \angle F_{1}N{F}_2$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：设点 $P(x,y)$ ($x\ne \pm a$)，根据斜率之积 $k_{P{A}_1}\cdot k_{P{A}_2}=m$ 列方程并整理，加上点 $A_1,A_2$ 后去限制，按 $m<-1$、$m=-1$、$-1<m<0$、$m>0$ 对标准方程形式进行分类讨论。
2. 第 (2) 问：当 $m=-1$ 时，$C_1$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$。分析 $C_2$ 的两焦点位置：

• 若 $m\in (-1,0)$，$C_2$ 为焦点在 $y$ 轴上的椭圆，焦距 $2c=2a\sqrt{-\frac{1}{m}-1}$，底边在 $y$ 轴上，根据圆上点的横坐标最大值确定三角形面积最大值，与 $|m|a^2$ 比较判定存在性；
• 若 $m>0$，$C_2$ 为焦点在 $x$ 轴上的双曲线，焦距 $2c=2a\sqrt{1+\frac{1}{m}}$，底边在 $x$ 轴上，结合纵坐标最大值讨论面积存在性；
• 在存在点的情形下，利用向量数量积或余弦定理与面积联立求 $\tan \angle F_{1}N{F}_2$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设动点坐标为 $(x,y)$ ($x\ne \pm a$)。 由题意，$\frac{y}{x+a}\cdot \frac{y}{x-a}=m$， 即 $\frac{y^2}{x^2-a^2}=m⟹\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{m{a}^2}=1$ ($x\ne \pm a$)。 由于曲线 $C$ 加上了点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$，其坐标满足方程， 因此曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{m{a}^2}=1$（或写为 $m{x}^2-y^2-m{a}^2=0$）。 讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系如下：

① 当 $m<0$ 时，方程可化为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{-m{a}^2}=1$：

• 若 $m=-1$，方程为 $x^2+y^2=a^2$，曲线 $C$ 是以原点为圆心、$a$ 为半径的圆；
• 若 $m<-1$，则 $-m{a}^2>a^2$，曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆；
• 若 $-1<m<0$，则 $0<-m{a}^2<a^2$，曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆。

② 当 $m>0$ 时，曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线。

(2) 当 $m=-1$ 时，曲线 $C_1$ 的方程为 $x^2+y^2=a^2$。 设 $N(x_0,y_0)\in C_1$，则 $x_0^2+y_0^2=a^2$。

① 当 $m\in (-1,0)$ 时，$C_2$ 为焦点在 $x$ 轴上的椭圆，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{-m{a}^2}=1$。 因为 $-1<m<0$，所以长半轴平方为 $a^2$，短半轴平方为 $-m{a}^2$。 其半焦距 $c=\sqrt{a^2-(-m{a}^2)}=a\sqrt{1+m}$。 焦点坐标为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 点 $N(x_0,y_0)$ 到焦点所在直线（$x$ 轴）的距离为 $|y_0|$。 此时 $△F_{1}N{F}_2$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot |y_0|=c|y_0|=a\sqrt{1+m}|y_0|$。 由 $N\in C_1$ 知 $|y_0|⩽a$（当且仅当 $x_0=0,|y_0|=a$ 时取等号）， 所以 $S_{\max }=a^2\sqrt{1+m}$。 要使 $S=|m|a^2=-m{a}^2$ 存在，需且只需： $-m{a}^2⩽a^2\sqrt{1+m}⟺(-m{)}^2⩽1+m⟺m^2-m-1⩽0$。 解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}⩽m⩽\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 又因 $-1<m<0$，所以当且仅当 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}⩽m<0$ 时，在 $C_1$ 上存在点 $N$ 使得 $S=|m|a^2$。 此时 $|y_0|=\frac{-ma}{\sqrt{1+m}}$，由 $x_0^2=a^2-y_0^2=a^2\left(1-\frac{m^2}{1+m}\right)=\frac{a^2(1+m-m^2)}{1+m}$。 记 $\angle F_{1}N{F}_2=\theta$，利用向量数量积： $\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}=(-c-x_0,-y_0)\cdot (c-x_0,-y_0)=x_0^2+y_0^2-c^2=a^2-a^2(1+m)=-m{a}^2$。 又 $|\overrightarrow{N{F}_1}\times \overrightarrow{N{F}_2}|=2S=2(-m{a}^2)$， 所以 $\tan \theta =\frac{2S}{\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}}=\frac{2(-m{a}^2)}{-m{a}^2}=2$。

② 当 $m>0$ 时，$C_2$ 为焦点在 $x$ 轴上的双曲线，方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{m{a}^2}=1$。 实半轴平方为 $a^2$，虚半轴平方为 $m{a}^2$。 半焦距 $c=\sqrt{a^2+m{a}^2}=a\sqrt{1+m}$。 焦点坐标为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 同样地，$△F_{1}N{F}_2$ 的面积为： $S=c|y_0|=a\sqrt{1+m}|y_0|$，其最大值为 $a^2\sqrt{1+m}$。 要使 $S=m{a}^2$ 存在，需且只需： $m{a}^2⩽a^2\sqrt{1+m}⟺m^2⩽1+m⟺m^2-m-1⩽0$。 解得 $0<m⩽\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 此时在 $C_1$ 上存在点 $N$ 使得 $S=m{a}^2$。 类似可得向量数量积： $\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}=x_0^2+y_0^2-c^2=a^2-a^2(1+m)=-m{a}^2$。 由面积公式，$△F_{1}N{F}_2$ 的有向面积模为 $2S=2m{a}^2$。 所以： $\tan \angle F_{1}N{F}_2=\frac{2S}{\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}}=\frac{2m{a}^2}{-m{a}^2}=-2$。

（注：由于 $\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}=-m{a}^2<0$，$\angle F_{1}N{F}_2$ 为钝角，其正切值为 $-2$）

综上所述：

• 当 $m\in \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)$ 时，存在点 $N$，$\tan \angle F_{1}N{F}_2=2$；
• 当 $m\in \left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ 时，存在点 $N$，$\tan \angle F_{1}N{F}_2=-2$；
• 当 $m\in \left(-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty \right)$ 时，不存在满足条件的点 $N$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：斜率乘积动点轨迹、圆锥曲线标准形式转化、焦点三角形面积与夹角求法。
• 核心方法：利用 $\tan \theta =\frac{2S}{\overrightarrow{N{F}_1}\cdot \overrightarrow{N{F}_2}}$ 可直接利用坐标 $x_0^2+y_0^2=a^2$ 整体代换求夹角，完全无需解出具体坐标值。
• 避坑指南：第 (2) 问必须按 $m$ 正负分别对椭圆与双曲线分类判定存在区间；当 $m>0$ 时，点乘为负数，夹角为钝角，正切值带负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自圆锥曲线第三定义（椭圆/双曲线关于中心对称的两端点连线斜率之积为定值 $\mp \frac{b^2}{a^2}$）。
• 结论推广：对椭圆/双曲线的任意伴随同心圆，其上动点与两焦点所张角的正切值仅取决于焦半径向量点积与行列式交叉项，满足齐次恒等律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程