2011-湖南卷理-12 填-数列综合

本题导读

本题考查等差数列通项公式，以及等差数列前 项和公式。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 的前 $n$ 项和，且 $a_1=1$，$a_4=7$，则 $S_5=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据 $a_4=a_1+3d$ 求出等差数列的公差 $d$。
2. 方法一：直接代入前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 计算 $S_5$。
3. 方法二：利用等差中项性质 $S_5=5a_3$，先求 $a_3$ 再求 $S_5$。

✅【答案】

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25

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_4=a_1+3d$，已知 $a_1=1$，$a_4=7$， 所以 $1+3d=7⟹3d=6⟹d=2$。

由等差数列前 $n$ 项和公式： $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5\times 1+10\times 2=5+20=25$。 （亦可用等差中项：$a_3=a_1+2d=1+4=5$，$S_5=5a_3=5\times 5=25$）

故填：25。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列首项与公差两个基本量的互求、前 $n$ 项和公式。
• 核心方法：基本量法（“知二求三”）。
• 避坑指南：熟记奇数项求和公式 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 可极大简化步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：等差数列基础性质的标准课本习题变形。
• 结论推广：若数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，则其前 $n$ 项和为关于 $n$ 的无常数项二次函数 $S_n=A{n}^2+Bn$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量