2011-福建卷文-14 填-余弦定理与面积

本题导读

本题考查三角形面积公式，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 若 $△ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，$BC=2$，$C=60^{\circ }$，则边 $AB$ 的长度等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 解出 $b$
2. 步骤2：再用余弦定理求 $c=AB$

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

记 $a=BC=2$，$b=CA$，$c=AB$。

由 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$：$\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 2\times b\times \sin 60^{\circ }=b\times \frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 $b=2$。

由余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4+4-2\times 2\times 2\times \frac{1}{2}=4$，故 $c=AB=2$。

（此时 $a=b=2$ 且 $C=60^{\circ }$，$△ABC$ 为等边三角形，边长 $2$，与各条件吻合。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$；余弦定理

核心方法：先用面积公式补出缺的边，再余弦定理收尾

避坑指南：$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积等式两边约去 $\sqrt{3}$ 时别算错系数；$AB$ 是角 $C$ 的对边 $c$，余弦定理里 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 的角要用 $C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积与余弦定理综合题与 2011-新课标卷文-15、2012-湖南卷文-08、2011-山东卷文-17 同族。

结论推广：推广：$S$、$a$、$C$ 已知时 $b=\frac{2S}{a\sin C}$ 唯一确定；随后 $c$ 由余弦定理唯一确定——三个独立条件定三角形。

方法推广：解三角形填空：条件给”面积 + 边 + 角”时先补边，最后问哪条边就用对那个角的余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2012-湖南卷文-08 单-余弦定理与面积求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形