2012-湖南卷文-08 单-余弦定理与面积求高

本题导读

本题考查余弦定理，以及三角形面积公式与高的计算。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$AC=\sqrt{7}$，$BC=2$，$B=60^{\circ }$，则 $BC$ 边上的高等于()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{4}$

🔍【思路分析】

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余弦定理得 $AB=3$，由等面积法 $\frac{1}{2}\times 2\times h=\frac{1}{2}\times 3\times 2\times \sin 60^{\circ }$，得 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos B$，即 $7=A{B}^2+4-2AB\times 2\times \frac{1}{2}=A{B}^2-2AB+4$。

整理得 $A{B}^2-2AB-3=0$，解得 $AB=3$（负根舍去）。

由面积相等：$\frac{1}{2}\times BC\times h=\frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin B$，即 $h=AB\sin B=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理（已知两边与其中一边的对角型条件）；等面积法求高

核心方法：先解二次方程求第三边 $AB$，再用 $h=AB\sin B$（或等面积）求 $BC$ 边上的高

避坑指南：余弦定理中角 $B$ 的对边是 $AC$，别把关系写成 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-\cdots$；$A{B}^2-2AB-3=0$ 的负根 $-1$ 要舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形求高题，与 2013 年天津卷文第 16 题、2013 年浙江卷文第 18 题同族。

结论推广：一般地，$BC$ 边上的高 $h=AB\sin B=AC\sin C$；等面积法是求高的通用工具。

方法推广：解三角形先画图标已知量，明确”角的对边”再用余弦定理，最后用面积桥接求高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值
• 2013-浙江卷文-18 解-正余弦定理面积