2011-福建卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查虚数单位i的性质，以及元素与集合的关系。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，若集合 $S=\{-1,0,1\}$，则 ()

A. $\mathrm{i}\in S$　　　　　　B. ${\mathrm{i}}^2\in S$　　　　　　C. ${\mathrm{i}}^3\in S$　　　　　　D. $\frac{2}{\mathrm{i}}\in S$

🔍【思路分析】

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1. 分别计算各选项中复数的值。
2. 对照集合 $S=\{-1,0,1\}$ 判断该值是否属于集合 $S$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 对 (A)：$\mathrm{i}$ 为虚数，$\mathrm{i}\notin S$；
• 对 (B)：${\mathrm{i}}^2=-1$，因为 $-1\in S$，所以 ${\mathrm{i}}^2\in S$，成立；
• 对 (C)：${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}\notin S$；
• 对 (D)：$\frac{2}{\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}=-2\mathrm{i}\notin S$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：${\mathrm{i}}^2=-1$ 的基本定义与元素与集合的属于关系。
• 核心方法：先代数化简再比对集合元素。
• 避坑指南：注意虚数与实数的本质区别，集合 $S$ 中全为实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于高一数学复数概念与集合基础知识的交汇题。
• 结论推广：$\mathrm{i}$ 的高次幂具有以 4 为周期的周期性：${\mathrm{i}}^{4k}=1,{\mathrm{i}}^{4k+1}=\mathrm{i},{\mathrm{i}}^{4k+2}=-1,{\mathrm{i}}^{4k+3}=-\mathrm{i}$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-01 填-集合并集定参
• 2010-江苏卷-01 填-集合交集定参
• 2010-湖北卷文-01 单-集合的交集