2010-江苏卷-01 填-集合交集定参

本题导读

考查交集。$3\in B$ 只能 $a+2=3$，$a=1$（$a^2+4=3$ 无解），检验 $B=\{3,5\}$ 合题。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设集合 $A=\{-1,1,3\}$，$B=\{a+2,a^2+4\}$，$A\cap B=\{3\}$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A\cap B=\{3\}\Rightarrow 3\in B$。
2. $a+2=3$ 得 $a=1$；$a^2+4=3$ 无实数解。
3. 检验：$a=1$ 时 $B=\{3,5\}$，$A\cap B=\{3\}$，合题。

✅【答案】

点击查看答案

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $A\cap B=\{3\}$ 知 $3\in B$。 若 $a+2=3$，则 $a=1$，此时 $B=\{3,5\}$，$A\cap B=\{3\}$，符合题意； 若 $a^2+4=3$，方程无实数解。 故 $a=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集运算

核心方法：由 $3\in B$ 分类讨论，回代检验

避坑指南：$a+2=3$ 与 $a^2+4=3$ 两条路都要走：后者无实数解别硬算；求出 $a$ 后必须检验 $A\cap B$ 是否恰为 $\{3\}$（防止 $B$ 中另一元素也落入 $A$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参集合由运算结果反推参数，是江苏卷填空第一题的经典形态。

结论推广：交集为单元素集 $\{3\}$ 蕴含两个信息：$3\in B$ 且 $B$ 中另一元素不在 $A$ 中。

方法推广：分类讨论后回代检验是集合题的保险栓。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-11 填-集合包含定参
• 2011-江苏卷-01 填-集合交集运算
• 2009-四川卷文-01 单-集合交集
• 2012-江苏卷-01 填-并集运算