2012-天津卷文-08 单-向量数量积求参数

本题导读

本题考查平面向量的线性表示，以及数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=90^{\circ }$，$AB=1$，$AC=2$. 设点 $P$，$Q$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=(1-\lambda )\overrightarrow{AC}$，$\lambda \in \mathbf{R}$. 若 $\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=-2$，则 $\lambda =$()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

以 $A$ 为原点建系，$\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=3\lambda -4=-2$，得 $\lambda =\frac{2}{3}$，选 B。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建系，则 $B(1,0)$，$C(0,2)$。

由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 得 $P(\lambda ,0)$；由 $\overrightarrow{AQ}=(1-\lambda )\overrightarrow{AC}$ 得 $Q(0,2(1-\lambda ))$。

于是 $\overrightarrow{BQ}=(-1,2(1-\lambda ))$，$\overrightarrow{CP}=(\lambda ,-2)$。

$\overrightarrow{BQ}\cdot \overrightarrow{CP}=-\lambda -4(1-\lambda )=3\lambda -4=-2$，解得 $\lambda =\frac{2}{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标表示；数量积的坐标运算

核心方法：直角背景下建系，所有向量先坐标化再点乘

避坑指南：$\overrightarrow{BQ}=Q-B$、$\overrightarrow{CP}=P-C$，起点终点别写反；$2(1-\lambda )$ 去括号时符号易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直角三角形中的向量参数题，与 2014 年天津卷文第 13 题、2015 年天津卷文第 13 题同族。

结论推广：$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 说明 $P$ 在直线 $AB$ 上；坐标化后数量积成为关于 $\lambda$ 的一次方程。

方法推广：遇垂直或直角背景优先建系；向量条件全部转坐标，再套 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-13 填-向量数量积
• 2015-天津卷文-13 填-向量数量积
• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长