2011-重庆卷文-02 单-集合补集

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法，以及补集运算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设 $U=\mathbf{R}$，$M=\{x\mid x^2-2x>0\}$，则 ${\complement }_{U}M=$ ()

A. $[0,2]$　　　B. $(0,2)$　　　C. $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$　　　D. $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先解 $x^2-2x>0$ 得 $M$
2. 步骤2：再对 $\mathbf{R}$ 取补集

✅【答案】

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$[0,2]$。选 \textbf{A}

✍【详细解析】

Abstract

解 $x^2-2x>0$，即 $x(x-2)>0$，得 $M=\{x\mid x<0$ 或 $x>2\}$。 故 ${\complement }_{U}M=[0,2]$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式与补集的先后衔接：解集开区间取补后端点要「闭」。

核心方法：解不等式定集合 → 端点闭开互换取补集。

避坑指南：取补集时端点归属要翻转：$x<0$ 或 $x>2$ 的补集是 $[0,2]$，两端都取到等号，误选 B 是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合补集小题为全卷传统首题位，2011 年湖南文 01、北京文 01 均为「二次不等式 + 补集」同构题。

结论推广：对 $\{x\mid f(x)>0\}$ 型集合取补，等价于直接解 $f(x)\le 0$，两法结果一致，可互检。

方法推广：先解不等式再取补，端点开闭逐一核对；也可直接解 $x^2-2x\le 0$ 一步写出补集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-01 单-集合并补运算
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间
• 2011-大纲卷文-01 单-集合补集运算