2011-重庆卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及虚数单位i的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 复数 $\frac{{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3+{\mathrm{i}}^4}{1-\mathrm{i}}=$ ()

A. $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　B. $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　C. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　D. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 利用 $\mathrm{i}$ 的幂的周期性化简分子。
2. 分子分母同乘分母的共轭复数进行化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$，${\mathrm{i}}^4=1$， 所以分子为 $(-1)+(-\mathrm{i})+1=-\mathrm{i}$。 原式 $=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{-\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位性质 ${\mathrm{i}}^{4k+r}={\mathrm{i}}^r$ 及分母实数化。
• 核心方法：先合并同类幂次，再应用共轭复数化简除法。
• 避坑指南：计算中注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 引起的负号变动。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于教材基础代数变形，考查复数系统的基本运算封闭性。
• 结论推广：对连续整数幂和，恒有 ${\sum }_{k=1}^{4n}{\mathrm{i}}^k=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算