2011-陕西卷文-05 单-正方体挖圆锥三视图

本题导读

本题考查三视图，以及组合体的体积。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ()

A. $8-\frac{2\pi }{3}$　　　　　　B. $8-\frac{\pi }{3}$　　　　　　C. $8-2\pi$　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：还原为”棱长 $2$ 的正方体挖去圆锥”
2. 步骤2：两体积相减

✅【答案】

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A$8-\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

三个视图的外框都是边长 $2$ 的正方形，主视图与左视图内部各有两条从上底两角到下底中点的虚线，俯视图是正方形内切圆且圆心处有一点：几何体是棱长为 $2$ 的正方体，挖去一个顶点在上底面中心、底面为俯视图中内切圆的圆锥。

正方体体积 $V_1=2^3=8$。

圆锥底面半径 $r=1$，高 $h=2$，体积 $V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2\pi }{3}$。

故所求体积 $V=8-\frac{2\pi }{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原组合体；正方体与圆锥的体积公式

核心方法：外框定外形（正方体）、内虚线与圆定挖去的圆锥，体积相减

避坑指南：视图中的虚线代表被遮挡的轮廓，对应挖去的圆锥母线；圆锥高是正方体的高 $2$ 而不是 $\frac{2\pi }{3}$ 中的任何数，漏乘 $\frac{1}{3}$ 或把挖去算成相加都会错；挖去结构体积只能相减（选项 D 是只算圆锥的干扰项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图体积题与 2011-天津卷文-10、2011-湖南卷文-04、2012-新课标卷文-07 同族。

结论推广：推广：正方体（棱长 $a$）内接顶点在上底中心、底面为内切圆的圆锥，体积为 $\frac{\pi a^3}{12}$；一般”外框方形 + 内部圆与虚线”的组合体优先考虑挖去旋转体。

方法推广：三视图体积题：先由外框定柱体外形，再由内部实虚线与圆定锥（台、球）部分，最后按”整体减挖去”或”分块相加”计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积