2011-陕西卷文-14 填-二次方程整数根充要

本题导读

本题考查一元二次方程的整数根，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，一元二次方程 $x^2-4x+n=0$ 有整数根的充要条件是 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设整数根 $r,s$
2. 步骤2：用韦达定理 $r+s=4$、$rs=n$ 枚举

✅【答案】

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$3$ 或 $4$

✍【详细解析】

Abstract

设方程的两个整数根为 $r$，$s$。由韦达定理：$r+s=4$，$rs=n$。

由求根公式 $x=\frac{4\pm \sqrt{16-4n}}{2}=2\pm \sqrt{4-n}$，根为整数当且仅当 $\sqrt{4-n}$ 为整数且 $4-n⩾0$，即 $4-n=k^2$（$k$ 为非负整数）。

$n\in {\mathbf{N}}_{+}$：$k=1$ 时 $n=3$（根 $1$，$3$）；$k=0$ 时 $n=4$（根 $2$，$2$）；$k=2$ 时 $n=0\notin {\mathbf{N}}_{+}$，舍去。

反之，$n=3$ 时方程为 $(x-1)(x-3)=0$，$n=4$ 时方程为 $(x-2{)}^2=0$，均有整数根。

故充要条件是 $n=3$ 或 $n=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程有整数根的条件；判别式与配方法；充要条件的双向验证

核心方法：配方 $2\pm \sqrt{4-n}$ 把”整数根”化为”$4-n$ 是完全平方数”，再由 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 枚举

避坑指南：$n=0$ 时 $4-n=4$ 也是完全平方数（根 $0$，$4$），但 $0\notin {\mathbf{N}}_{+}$，题目限定了正整数，漏掉这一检验会多写 $n=0$；“充要”要求反向验证——$n=3$ 或 $4$ 时方程确实有整数根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：整数根与充要条件题与 2011-天津卷文-04、2013-浙江卷文-03 同族。

结论推广：推广：$x^2-2mx+n=0$ 有整数根 $⟺n-m^2$ 是完全平方数（含 $0$）且满足定义域限制；配方形式比判别式更能直接锁定根的结构。

方法推广：整数根问题：优先配方写出根的显式表达式，把整性条件转移到根号内的数上，再枚举完全平方数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定
• 2013-浙江卷文-03 单-充要条件判定