2011-陕西卷文-19 解-切线递推等比求和

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程，以及数列的递推关系。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 如图，从点 $P_1(0,0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y={\mathrm{e}}^x$ 于点 $Q_1(0,1)$，曲线在 $Q_1$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_2$，再从 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_2$，依次重复上述过程得到一系列点：$P_1$，$Q_1$；$P_2$，$Q_2$；$\cdots$；$P_n$，$Q_n$，记 $P_k$ 点的坐标为 $(x_k,0)$（$k=1,2,\cdots ,n$）.

(1)试求 $x_k$ 与 $x_{k-1}$ 的关系（$2⩽k⩽n$）；

(2)求 $|P_1{Q}_1|+|P_2{Q}_2|+|P_3{Q}_3|+\cdots +|P_n{Q}_n|$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）写出 $Q_{k-1}$ 处切线
2. 步骤2：令 $y=0$ 得 $x_k=x_{k-1}-1$
3. 步骤3：（2）$|P_k{Q}_k|=e^{1-k}$ 成等比
4. 步骤4：套求和公式

✅【答案】

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(1) $x_k=x_{k-1}-1$（$2⩽k⩽n$）

(2) 和为 $\frac{\mathrm{e}\left(1-{\mathrm{e}}^{-n}\right)}{\mathrm{e}-1}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$P_{k-1}=(x_{k-1},0)$，则 $Q_{k-1}=(x_{k-1},{\mathrm{e}}^{x_{k-1}})$。

曲线 $y={\mathrm{e}}^x$ 在 $Q_{k-1}$ 处的切线斜率为 $y^{\prime }{|}_{x=x_{k-1}}={\mathrm{e}}^{x_{k-1}}$，切线方程为 $y-{\mathrm{e}}^{x_{k-1}}={\mathrm{e}}^{x_{k-1}}(x-x_{k-1})$。

令 $y=0$：$-{\mathrm{e}}^{x_{k-1}}={\mathrm{e}}^{x_{k-1}}(x_k-x_{k-1})$，两边除以 ${\mathrm{e}}^{x_{k-1}}$ 得 $x_k-x_{k-1}=-1$，即 $x_k=x_{k-1}-1$（$2⩽k⩽n$）。

（2）由 $x_1=0$ 及递推式，$x_k=x_1-(k-1)=1-k$。

$P_k{Q}_k$ 垂直于 $x$ 轴，故 $|P_k{Q}_k|={\mathrm{e}}^{x_k}={\mathrm{e}}^{1-k}$。

数列 $\{{\mathrm{e}}^{1-k}\}$ 是首项 $1$、公比 $\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的等比数列，故

$\sum _{k=1}^n|P_k{Q}_k|=\sum _{k=1}^n{\mathrm{e}}^{1-k}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-n}}{1-{\mathrm{e}}^{-1}}=\frac{\mathrm{e}\left(1-{\mathrm{e}}^{-n}\right)}{\mathrm{e}-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线方程的求法；横截距；等比数列的识别与求和

核心方法：切线 $\to$ 截距得递推，递推累加得通项 $x_k$，纵长 $|P_k{Q}_k|$ 化为等比数列求和

避坑指南：切线斜率是 ${\mathrm{e}}^{x_{k-1}}$（指数函数任意一点斜率等于函数值本身），求截距时两边可约去 ${\mathrm{e}}^{x_{k-1}}$，别被指数形式吓住；$x_k=1-k$ 是”从 $x_1=0$ 累加 $k-1$ 次”的结果，下标 $1-k$ 与求和的公比 ${\mathrm{e}}^{-1}$ 要对齐；结果 $\frac{\mathrm{e}(1-{\mathrm{e}}^{-n})}{\mathrm{e}-1}$ 与 $\frac{1-{\mathrm{e}}^{-n}}{1-{\mathrm{e}}^{-1}}$ 等价，写哪个都对，但分子分母要自洽。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线递推与等比求和题与 2012-陕西卷文-16、2011-山东卷文-20、2011-新课标卷文-17 同族。

结论推广：推广：$y=a^x$ 在任意点处切线的 $x$ 轴截距递推为 $x_k=x_{k-1}-\frac{1}{\ln a}$（本题 $a=\mathrm{e}$ 恰为 $1$）；“几何过程生成数列”是数列与导数交汇的常见命题结构，通项落点通常是等差或等比。

方法推广：递推数列大题：第一步永远是”写出一次操作的显式算式”（这里是切线截距），得到递推式后再求通项与求和；几何量的表达（如 $|P_k{Q}_k|$）最后再翻译。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-16 解-等比数列求和与等差证明
• 2011-山东卷文-20 解-等比数列与对数求和
• 2011-新课标卷文-17 解-等比数列与对数求和