2014-上海卷文-10 填-无穷等比极限

本题导读

考查无穷等比数列。把”从第 3 项起的无穷和”用 $a_1,q$ 表示，与 $a_1$ 联立解出 $q$。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 设无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，若 $a_1=\underset{n\to \infty }{\lim }(a_3+a_4+\cdots +a_n)$，则 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 从第 3 项起的无穷和 $=a_1{q}^2+a_1{q}^3+\cdots =\frac{a_1{q}^2}{1-q}$（需 $|q|<1$）。
2. 令 $a_1=\frac{a_1{q}^2}{1-q}$，约去 $a_1$。
3. 解 $q^2+q-1=0$ 并按 $|q|<1$ 取根。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $|q|<1$ 时，

$a_3+a_4+\cdots =\frac{a_1{q}^2}{1-q}.$

由条件 $a_1\ne 0$，约去 $a_1$ 得 $1=\frac{q^2}{1-q}$，即

$q^2+q-1=0.$

解得 $q=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$。因 $|q|<1$，舍去 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，故

$q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无穷等比数列求和公式（$|q|<1$）；解一元二次方程与验根。

2. 核心方法：“部分无穷和 = 首项 × 公比幂次 ÷ (1−q)“，列出方程后必须用 $|q|<1$ 筛根。

3. 避坑指南：求和起点是第 3 项，分子是 $a_1{q}^2$ 而不是 $a_1$；两个根必须按 $|q|<1$ 取舍，直接写 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列极限与无穷等比求和是上海卷的传统考点（旧课程体系特色）。

2. 结论推广: 若条件改为 $a_2=\underset{n\to \infty }{\lim }(a_4+a_5+\cdots )$，则 $\frac{a_1{q}^3}{1-q}=a_{1}q$，可解得同一 $q$。

3. 方法推广: “无穷和问题先写首项与公比，再解方程 + 验收敛”是固定流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-08 单-等比数列片段和
• 2014-广东卷文-13 填-等比数列