2013-上海卷文-21 解-三角零点个数

本题导读

本题考查三角函数的奇偶性。核心在于定义法判断奇偶性、整体代换求零点通解的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin \omega x$，其中常数 $\omega >0$.

(1)令 $\omega =1$，判断函数 $F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由；

(2)令 $\omega =2$，将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象.对任意的 $a\in \mathbf{R}$，求 $y=g(x)$ 在区间 $[a,a+10\pi ]$ 上零点个数的所有可能值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\omega =1$ 时 $F(x)=2\sin x+2\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=2\sin x+2\cos x$。
2. $F(0)=2$，$-F(0)=-2$，两者不等 → 不是奇函数；$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$，$F\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-2$，两者不等 → 不是偶函数。故非奇非偶。
3. $\omega =2$ 时 $g(x)=2\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right]+1=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+1$。
4. $g(x)=0$ ⇔ $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ → $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 或 $\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ → $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ 或 $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。
5. $g(x)$ 的周期为 $\pi$，每个周期内恰有 $2$ 个零点；且零点集合以 $\pi$ 为周期。
6. 区间 $[a,a+10\pi ]$ 长度恰为 $10$ 个周期：$a$ 不是零点时共 $20$ 个零点；$a$ 是零点时，由周期性 $a+10\pi$ 也是零点，两个端点各多计 $1$ 个（$20+1=21$）。故所有可能值为 $20$ 或 $21$。

✅【答案】

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(1) $F(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数；(2) $20$ 或 $21$

✍【详细解析】

Abstract

**（1）**当 $\omega =1$ 时，$f(x)=2\sin x$，于是 $F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=2\sin x+2\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=2\sin x+2\cos x.$ 因为 $F(0)=2\ne -2=-F(0),$ 所以 $F(x)$ 不是奇函数； 又 $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2,F\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-2,$ 两者不相等，所以 $F(x)$ 不是偶函数。 因此 $F(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数。 **（2）**当 $\omega =2$ 时，$f(x)=2\sin 2x$。图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位后，横坐标为 $x$ 的点的函数值为 $f\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，再向上平移 $1$ 个单位，得 $g(x)=2\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right]+1=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+1.$ 令 $g(x)=0$，得 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}.$ 于是 $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{或}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z},$ 解得零点为 $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \text{或}x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}.$ 故 $g(x)$ 的周期为 $\pi$，且零点集合也以 $\pi$ 为周期；在任意一个长度为 $\pi$ 的半开区间内恰有 $2$ 个零点。 区间 $[a,a+10\pi ]$ 的长度恰为 $10$ 个周期：

• 当 $a$ 不是零点时，区间内共有 $10\times 2=20$ 个零点；
• 当 $a$ 是零点时，由周期性知 $a+10\pi$ 也是零点，两端点各多计入 $1$ 个，共 $20+1=21$ 个零点。 所以 $y=g(x)$ 在 $[a,a+10\pi ]$ 上零点个数的所有可能值为 $20$ 或 $21$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的奇偶性与图象变换后的零点计数

核心方法：(1) $\omega =1$ 时 $F(x)=2\sin x+2\cos x$，$F(0)=2\ne -2=-F(0)$ 故非奇，$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\ne -2=F\left(-\frac{\pi }{2}\right)$ 故非偶；(2) $g(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+1$，零点为 $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ 或 $\frac{5\pi }{12}+k\pi$，周期 $\pi$，每周期 $2$ 个零点，区间长恰 $10$ 个周期 → 零点个数 $20$ 或 $21$

避坑指南：判断奇偶性用定义 + 反例：$F(0)\ne 0$ 立刻否定”奇”，取一对相反数使函数值不等立刻否定”偶”；零点个数题先解通解、再数”区间长含几个周期 × 每周期零点数”，端点是否恰为零点要单独讨论（“恰含整数个周期”时左端点是零点则右端点也是，会多 1 个）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“图象变换 + 零点个数”是上海卷三角解答题的传统考法，与 2013 天津文 6 的三角函数最值、2013 大纲文 9 的读图定周期同用”整体代换”思想。

结论推广：$y=2\sin (\omega x+\phi )$ 的零点满足 $\omega x+\phi =k\pi$，相邻零点间距为半周期 $\frac{\pi }{\omega }$；长度为 $10\pi$、周期为 $\pi$ 的区间恰含 $10$ 个完整周期，故零点数为 $20$ 或 $21$。

方法推广：数零点个数的通用框架：① 解出零点通解；② 数区间长度含几个周期；③ 单独判断端点是否恰为零点——若左端点为零点，由周期性右端点也为零点，个数比”不落在零点上”时多 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-天津卷文-06 单-三角函数最值
• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象