2012-上海卷理-10 填-极坐标方程

本题导读

本题考查极坐标系中直线方程的建立，以及正弦定理在极坐标背景下的应用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 如图，在极坐标系中，过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$ 与极轴的夹角 $\alpha =\frac{\pi }{6}$.若将 $l$ 的极坐标方程写成 $\rho =f(\theta )$ 的形式，则 $f(\theta )=$ $\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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1. 构图取点：记极点为 $O$，直线 $l$ 与极轴交于点 $M(2,0)$，设 $l$ 上任意一点为 $P(\rho ,\theta )$。
2. 定出三角形各角：在 $△OMP$ 中，$\angle POM=\theta$，$\angle OMP=\pi -\alpha$，进而得 $\angle OPM=\alpha -\theta$。
3. 正弦定理求解：由 $\frac{OM}{\sin \angle OPM}=\frac{OP}{\sin \angle OMP}$ 解出 $\rho =f(\theta )$。

✅【答案】

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$\frac{1}{\sin (\frac{\pi }{6}-\theta )}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：明确三角形的三个角 记极点为 $O$，直线 $l$ 与极轴交于点 $M(2,0)$，设 $l$ 上任意一点 $P$ 的极坐标为 $(\rho ,\theta )$。在 $△OMP$ 中： $\angle POM=\theta ,\angle OMP=\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ 由三角形内角和得 $\angle OPM=\pi -\theta -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}-\theta$

第二步：应用正弦定理 在 $△OMP$ 中，由正弦定理 $\frac{OM}{\sin \angle OPM}=\frac{OP}{\sin \angle OMP}$ 代入 $OM=2$，$OP=\rho$，$\sin \angle OMP=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$，得 $\frac{2}{\sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)}=\frac{\rho }{\frac{1}{2}}$

第三步：整理成 $\rho =f(\theta )$ 的形式 $\rho =2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)}=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)}$

故填入答案为：$\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标中点的表示、直线方程的建立，以及正弦定理的几何应用。

核心方法：“几何量三角形化”。把极径、极角放进一个三角形，用正弦定理把 $\rho$ 与 $\theta$ 联系起来。

避坑指南：- $\angle OMP$ 是 $\pi -\alpha$ 而不是 $\alpha$，因为射线 $MO$ 与极轴正方向相反。 - 角 $\angle OPM=\frac{\pi }{6}-\theta$ 要求 $\frac{\pi }{6}-\theta >0$，即 $\theta <\frac{\pi }{6}$，这也是直线在极坐标下的有效取值区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、极坐标系的基本概念、直线的极坐标方程。

结论推广：过极轴上点 $M(a,0)$ 且与极轴夹角为 $\alpha$ 的直线，其极坐标方程可统一写成 $\rho =\frac{a\sin \alpha }{\sin (\alpha -\theta )}$。

方法推广：求曲线的极坐标方程时，优先构造三角形并利用正弦定理（或余弦定理），比先化直角坐标再回代更直接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换 类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-07 填-极坐标方程的几何意义

• 2014-江西卷理-12 单-极坐标方程

• 1993-上海-09 填-极坐标中平行于极轴的直线