2011-山东卷文-02 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 复数 $z=\frac{2-i}{2+i}$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分母实数化求 $z$
2. 步骤2：看实部虚部符号定象限

✅【答案】

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D对应点 $\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ 在第四象限

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同乘 $2-i$：$z=\frac{(2-i{)}^2}{(2+i)(2-i)}=\frac{4-4i+i^2}{5}=\frac{3-4i}{5}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$。

实部 $\frac{3}{5}>0$，虚部 $-\frac{4}{5}<0$，对应点在第四象限。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法；复数与复平面的对应

核心方法：乘共轭分母实数化，实部虚部符号定象限

避坑指南：$(2-i{)}^2=3-4i$（$-4i$ 项易丢）；虚部为负才落第四象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数与复平面题与 2012-北京卷文-02、2011-天津卷文-01、2012-安徽卷文-01 同族。

结论推广：推广：$\frac{a-bi}{a+bi}=\frac{(a-bi{)}^2}{a^2+b^2}$，实部 $=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$，虚部 $=\frac{-2ab}{a^2+b^2}$。

方法推广：复数小题：除法化简后按（实部，虚部）落点；模长关系可快速校验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-02 单-复数与复平面
• 2011-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-安徽卷文-01 单-复数除法运算