2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 抛物线 $C_1:y=\frac{x^2}{2p}$（$p>0$）的焦点与双曲线 $C_2:\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的右焦点的连线交 $C_1$ 于第一象限的点 $M$. 若 $C_1$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_2$ 的一条渐近线，则 $p=$()

A. $\frac{\sqrt{3}}{16}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{8}$　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. $C_1$：$x^2=2py$，焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，$y^{\prime }=\frac{x}{p}$；$C_2$ 右焦点 $(2,0)$，渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$。
2. $M$ 在第一象限 → 切线斜率 $\frac{x_M}{p}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ → $x_M=\frac{\sqrt{3}p}{3}$，$y_M=\frac{x_M^2}{2p}=\frac{p}{6}$。
3. $F$、$F^{\prime }(2,0)$、$M$ 共线：$\frac{p}{6}=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}p}{3}$ → $p=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{x^2}{2p}$ 得 $x^2=2py$（$p>0$），所以抛物线的焦点为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$，且 $y^{\prime }=\frac{x}{p}$。 由 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 得 $a^2=3$，$b^2=1$，$c^2=4$，右焦点 $F^{\prime }(2,0)$，渐近线方程 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$。 $F$、$F^{\prime }$ 的连线交 $C_1$ 于第一象限的点 $M$，由 $M$ 在第一象限且 $p>0$，切线斜率 $y^{\prime }=\frac{x_M}{p}>0$，故平行于渐近线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$： $\frac{x_M}{p}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹x_M=\frac{\sqrt{3}p}{3},y_M=\frac{x_M^2}{2p}=\frac{1}{2p}\cdot \frac{3p^2}{9}=\frac{p}{6}.$ 直线 $F{F}^{\prime }$ 过 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$ 与 $(2,0)$，方程为 $y=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}x.$ 将 $M$ 代入： $\frac{p}{6}=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}p}{3}⟹\frac{p}{6}=\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{3}{p}^2}{12}.$ 两边乘 $\frac{12}{p}$（$p>0$）： $2=6-\sqrt{3}p⟹p=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线、双曲线与切线

核心方法：抛物线 $y=\frac{x^2}{2p}$ 焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$、$y^{\prime }=\frac{x}{p}$；切线平行渐近线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ → $x_M=\frac{\sqrt{3}p}{3}$、$y_M=\frac{p}{6}$；三点共线定 $p=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：三个”桥梁”别配错：焦点是 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$（标准形 $x^2=2py$）、导数是 $\frac{x}{p}$ 而非 $px$（$y=\frac{x^2}{2p}$）、渐近线斜率 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；$M$ 在第一象限定切线斜率取正——最后用 $F$、$F^{\prime }$、$M$ 三点共线收口。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的综合小题（抛物线焦点、双曲线渐近线与导数切线交汇）。

结论推广：$x^2=2py$：焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$；$y=\frac{x^2}{2p}$ 的导数 $y^{\prime }=\frac{x}{p}$；$\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，右焦点 $(2,0)$。

方法推广：多曲线交汇题：把各要素（焦点、渐近线、切线斜率）翻译成坐标与斜率 → 用”点在曲线上 + 三点共线”列方程解参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形