2012-辽宁卷文-12 单-抛物线双切线

本题导读

本题考查抛物线的切线方程，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知 $P$，$Q$ 为抛物线 $x^2=2y$ 上两点，点 $P$，$Q$ 的横坐标分别为 $4$，$-2$.过 $P$，$Q$ 分别作抛物线的切线，两切线交于点 $A$，则点 $A$ 的纵坐标为()

A. $1$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $-4$　　　　　　　D. $-8$

🔍【思路分析】

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切线 $l_P$：$y=4x-8$，$l_Q$：$y=-2x-2$，交点 $A(1,-4)$，纵坐标为 $-4$，故选 C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=2y$ 即 $y=\frac{x^2}{2}$，其导数为 $y^{\prime }=x$。

$P$ 的横坐标为 $4$，则 $P(4,8)$，切线斜率 $k_P=4$，切线方程为 $y-8=4(x-4)$，即 $y=4x-8$。

$Q$ 的横坐标为 $-2$，则 $Q(-2,2)$，切线斜率 $k_Q=-2$，切线方程为 $y-2=-2(x+2)$，即 $y=-2x-2$。

联立 $4x-8=-2x-2$，得 $x=1$，$y=4\times 1-8=-4$。

所以交点 $A(1,-4)$，其纵坐标为 $-4$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的标准方程与导数；切线方程；两直线交点

核心方法：“点代曲得坐标 → 求导得斜率 → 点斜式写切线 → 联立求交点”

避坑指南：横坐标 $4$、$-2$ 对应的纵坐标要把回抛物线：$P(4,8)$、$Q(-2,2)$；斜率分别是 $4$ 与 $-2$，若把导数记成 $2x$（漏掉 $\frac{1}{2}$ 的系数）会得到错误的切线与交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线双切线交点题，与 2013 年辽宁卷文第 20 题、2012 年福建卷文第 21 题同族。

结论推广：$y=\frac{x^2}{2a}$ 型抛物线过横坐标 $x_0$ 处的切线斜率为 $\frac{x_0}{a}$；两条切线交点的横坐标恰为 $\frac{x_1+x_2}{2}$。

方法推广：圆锥曲线切线问题用导数最直接：$y^{\prime }$ 在切点横坐标处的值就是斜率，再走”点斜式”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-20 解-抛物线双切线
• 2012-福建卷文-21 解-抛物线切线定点
• 2012-四川卷文-22 解-抛物线切线与不等式