2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及对数式的大小比较。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 设 $a={\log }_{3}2$，$b={\log }_{5}2$，$c={\log }_{2}3$，则()

A. $a>c>b$　　　　　B. $b>c>a$　　　　　C. $c>b>a$　　　　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

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1. $c={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$。
2. $b={\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}=\frac{1}{2}$。
3. $a={\log }_{3}2$：因 $\sqrt{3}<2<3$，故 $\frac{1}{2}<a<1$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

先找媒介值分组。 因为 $3>2$，所以 $c={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1.$ 因为 $2<\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$，所以 $b={\log }_{5}2<{\log }_5{5}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$ 而 $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}<2<3$，故 $a={\log }_{3}2>{\log }_3{3}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2},a={\log }_{3}2<{\log }_{3}3=1,$ 即 $\frac{1}{2}<a<1$。 于是 $c>1>a>\frac{1}{2}>b$，所以 $c>a>b$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数式的大小比较

核心方法：借助”媒介值”（与 $1$ 比、与 $0$ 比）分组，再用换底比较同底对数

避坑指南：$b={\log }_{5}2$ 底大真数小，是三者中最小的；不要只凭”真数都小于底数”就断定 $a>b$，需换成同底或与 $\frac{1}{2}$ 比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数的大小比较（全国卷常考）。

结论推广：当 $a>1$ 时 $y={\log }_{a}x$ 单调递增；真数相同、底数越大对数值越小；底数相同、真数越大对数值越大。

方法推广：比大小三步：找媒介值分组（如与 $0$、$1$、$\frac{1}{2}$ 比）→ 同组内换底统一 → 比较真数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
• 2013年新课标Ⅱ理-8