2012-广东卷文-20 解-椭圆与抛物线公切线

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点 $F_1(-1,0)$，且点 $P(0,1)$ 在 $C_1$ 上.

(1)求椭圆 $C_1$ 的方程；

(2)设直线 $l$ 同时与椭圆 $C_1$ 和抛物线 $C_2:y^2=4x$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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$\frac{x^2}{2}+y^2=1$；抛物线切线给 $km=1$，椭圆切线给 $m^2=1+2k^2$，解得 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，$l:y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x+2)$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2)$l:y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x+2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）点 $P(0,1)$ 在 $C_1$ 上，故 $b=1$；左焦点 $(-1,0)$ 给出 $c=1$，$a^2=b^2+c^2=2$。

所以 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

（2）由抛物线开口向右可知 $l$ 不与 $y$ 轴平行，设 $l:y=kx+m$（$k\ne 0$）。

与抛物线 $y^2=4x$ 相切：代入得 $k^2{x}^2+(2km-4)x+m^2=0$，判别式为零：

$(2km-4{)}^2-4k^2{m}^2=0\Rightarrow -16km+16=0\Rightarrow km=1$，即 $m=\frac{1}{k}$.　①

与椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 相切：代入得 $\left(\frac{1}{2}+k^2\right)x^2+2kmx+\left(m^2-1\right)=0$，判别式为零：

$4k^2{m}^2-4\left(\frac{1}{2}+k^2\right)\left(m^2-1\right)=0\Rightarrow m^2=1+2k^2$.　②

①代入②：$\frac{1}{k^2}=1+2k^2$，即 $2k^4+k^2-1=0$，解得 $k^2=\frac{1}{2}$（负值舍去），从而 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，$m=\frac{1}{k}=\pm \sqrt{2}$。

所以 $l:y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\pm \sqrt{2}$，即 $l:y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x+2)$（$k$ 与 $m$ 同号，由 $km=1$ 保证）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆基本量（焦点与曲线上点）；相切 $⟺$ 判别式为零；公切线的存在性

核心方法：设斜截式直线，对两条曲线分别”代入 — 判别式为零”，消元解 $k,m$

避坑指南：抛物线开口向右，公切线斜率非零（水平线 $y=\pm ?$ 与 $y^2=4x$ 只交一次但不相切于椭圆方向），设方程前先排除竖直线；解 $2k^4+k^2-1=0$ 时把 $k^2$ 看作整体，负值舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线公切线题，与 2012 年大纲卷文第 22 题、2013 年新课标Ⅰ文第 21 题同族。

结论推广：与 $y^2=2px$ 相切的直线 $y=kx+m$ 满足 $m=\frac{p}{2k}$（$p=4$ 时 $m=\frac{1}{k^2}$）；与 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相切满足 $m^2=a^2{k}^2+b^2$。

方法推广：公切线问题用”参数分离 — 各自相切条件 — 联立消参”，比先猜后验可靠；求出结果后代回两条曲线各验一次判别式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线
• 2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线