2022-浙江卷-05 单-三视图体积

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及组合体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 某几何体的三视图如图所示（单位：$\text{cm}$），则该几何体的体积（单位：${\text{cm}}^3$）是()

A. $22\pi$　　　　　　B. $8\pi$　　　　　　C. $\frac{22}{3}\pi$　　　　　　D. $\frac{16}{3}\pi$

🔍【思路分析】

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本题的核心在于“识图”与“计算”。

首先，通过观察三视图的轮廓特征，判断出原几何体的空间形状及其组合方式；

其次，从三视图中提取出各个基本几何体的关键数据（如底面半径、高）；

最后，套用对应的几何体体积公式，将各部分体积相加即可得到总体积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由该几何体的三视图可知，此几何体是一个由三部分自上而下拼接而成的组合体：

• 上部：是一个半径 $R_1=1$ 的半球；

• 中部：是一个底面半径 $r=1$，高 $h_1=2$ 的圆柱；

• 下部：是一个上底面半径 $r=1$，下底面半径 $R_2=2$，高 $h_2=2$ 的圆台。

接下来分别计算这三部分的体积：

① 上部半球的体积 $V_1$：

$V_1=\frac{1}{2}\times \left(\frac{4\pi }{3}{R}_1^3\right)=\frac{1}{2}\times \frac{4\pi }{3}\times 1^3=\frac{2}{3}\pi$

② 中部圆柱的体积 $V_2$：

$V_2=\pi r^2{h}_1=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$

③ 下部圆台的体积 $V_3$：

圆台上底面积 $S_{上}=\pi \times 1^2=\pi$

圆台下底面积 $S_{下}=\pi \times 2^2=4\pi$

V_3 = \frac{1}{3} h_2 \left( S_{上} + S_{下} + \sqrt{S_{上} S_{下}} \right)$$$$V_3 = \frac{1}{3} \times 2 \times \left( \pi + 4\pi + \sqrt{\pi \times 4\pi} \right)$$$$V_3 = \frac{2}{3} \times (\pi + 4\pi + 2\pi) = \frac{14}{3}\pi

④ 计算组合体总体积 $V$：

$V=V_1+V_2+V_3=\frac{2}{3}\pi +2\pi +\frac{14}{3}\pi =\frac{16}{3}\pi +\frac{6}{3}\pi =\frac{22}{3}\pi$

故选：C．

本题考查三视图还原空间几何体以及组合体体积的求解。准确判断几何体的形状与各部分尺寸是解题的关键，考查了学生的空间想象能力和基本运算求解能力，是一道标准的高考中档题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三视图还原技巧：

   • 面对组合体，通常按照“分层”的原则进行还原（如本题的“上、中、下”结构）。

   • 圆形轮廓（如主视图、侧视图中的矩形或梯形，俯视图中的同心圆）常提示旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）。

2. 核心体积公式备忘：

   • 球体体积：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$（注意半球要乘以 $\frac{1}{2}$）。

   • 圆柱体积：$V=Sh=\pi r^{2}h$。

   • 台体（包含圆台、棱台）体积：$V=\frac{1}{3}h\left(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}{S}_{下}}\right)$。该公式是常考易错点，需熟练记忆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-04 单-三视图还原
• 2009-浙江卷文-12 填-三视图体积
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积