本题导读
本题考查长方体中的线线垂直。核心在于建系法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年安徽卷(文)） 如图，长方体 中，底面 是正方形， 是 的中点， 是棱 上任意一点.
(1) 证明：；
(2) 如果 ，，，求 的长.
!
🔍【思路分析】
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(1) 以 为原点建系，、，数量积恒为 ；(2) 由 解得 。
✅【答案】
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(1) 见解析；(2)
✍【详细解析】
Abstract
以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系。设 ，（底面正方形），，（）。
则 ，，，，。
(1) ，。
，与 、 无关，故 恒成立。
（几何解释：（正方形对角线），（侧棱垂直底面），故 平面 ，而 平面 。）
(2) ，。
由 ：，即 。
代入 ：，，。
故 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：底面为正方形的长方体中 对角面 ；空间向量证线线垂直；垂直条件化为方程求棱长
核心方法：(1) 向量数量积恒为零（或三垂线定理： 与 ）；(2) 把 化为 解出
避坑指南：建系时 的坐标是 （ 在 上），别把 写到别处；(2) 中 是已知的， 是未知量，方程 是关于 的一元一次方程。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：长方体垂直与求棱长题，与 2012 年福建卷文第 19 题、2013 年新课标Ⅱ文第 19 题同族。
结论推广：长方体（底面正方形）中体对角线相关的”任意点”垂直： 平面 与 的位置无关； 型条件给出 定值的勾股型方程。
方法推广：长方体问题建系是首选：(1) 证”恒成立”的垂直只要数量积含参化简后为零；(2) 求长度把垂直条件化为坐标方程。
🔗【关联脉络】
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