2010-湖南卷文-18 解-异面角与面面垂直

本题导读

考查空间角与垂直。建系得 $A_{1}M=(1,1,-1)$、$C_1{D}_1=(-1,0,0)$，$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\tan \theta =\sqrt{2}$；两平面法向量 $(0,-1,1)$ 与 $(0,1,1)$ 垂直，故面面垂直。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 如图所示，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=AD=1$，$A{A}_1=2$，$M$ 是棱 $C{C}_1$ 的中点.

(1)求异面直线 $A_{1}M$ 和 $C_1{D}_1$ 所成的角的正切值；

(2)证明：平面 $ABM\perp$ 平面 $A_1{B}_{1}M$.

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点建系，写出各点坐标与向量。 2.（1）$\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$，再由 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 求 $\tan \theta$。 3.（2）分别求两平面的法向量，证其数量积为零。

✅【答案】

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(1) $\sqrt{2}$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,2)$，$C(1,1,0)$，$C_1(1,1,2)$，$D_1(0,1,2)$. 因 $M$ 是 $C{C}_1$ 的中点，故 $M(1,1,1)$. （1）$\overrightarrow{A_{1}M}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{C_1{D}_1}=(-1,0,0)$. 设异面直线 $A_{1}M$ 与 $C_1{D}_1$ 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}M}\cdot \overrightarrow{C_1{D}_1}|}{|\overrightarrow{A_{1}M}||\overrightarrow{C_1{D}_1}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ 由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$， 故 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\sqrt{2}.$ （2）$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{AM}=(1,1,1)$，设平面 $ABM$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1$，可取 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(0,-1,1).$ $\overrightarrow{A_1{B}_1}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{A_{1}M}=(1,1,-1)$，设平面 $A_1{B}_{1}M$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2$，可取 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{A_1{B}_1}\times \overrightarrow{A_{1}M}=(0,1,1).$ 因为 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0+(-1)\times 1+1\times 1=0$， 所以两平面的法向量互相垂直，从而平面 $ABM\perp$ 平面 $A_1{B}_{1}M$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角与面面垂直

核心方法：建系求 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}M}\cdot \overrightarrow{C_1{D}_1}|}{|\overrightarrow{A_{1}M}||\overrightarrow{C_1{D}_1}|}$；两平面法向量数量积为零证垂直

避坑指南：异面角取锐角（或直角），$\cos \theta$ 必为正；由 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ 求 $\tan \theta$ 用 $1+{\tan }^2=\frac{1}{{\cos }^2}$；法向量可取叉乘结果，注意验证与面内两向量都垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量法把”找角”变成”算坐标”，是立体几何解答题的通用武器。

结论推广：$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)$；面面垂直 $⟺$ 法向量垂直。

方法推广：建系后所有点坐标一次写全；证垂直时法向量取最简整数解即可，叉乘结果要回头验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2012-安徽卷文-19 解-长方体垂直与求棱长
• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直