2012-安徽卷理-10 单-组合数

本题导读

本题考查组合及组合数公式，以及图的度数与边数关系。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为()

A. 1 或 3　　　　B. 1 或 4　　　　C. 2 或 3　　　　D. 2 或 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型转化：将 6 位同学看作图的 6 个顶点，两两交换看作连边。若每两人都交换，则构成完全图 $K_6$。
2. 计算总边数：6 人两两交换的总次数为 $C_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$ 次。此时每个人都会收到 5 份纪念品（每个顶点的度数为 5）。
3. 分析差异：实际进行了 13 次交换，比总数少了 $15-13=2$ 次。这意味着在完全图的基础上删去了 2 条边。
4. 寻找目标：收到 4 份纪念品，意味着该同学原本应有的 5 次交换中，有 1 次没有进行。即该顶点在被删去的 2 条边中，恰好作为一个端点出现了 1 次。
5. 分类讨论删边情况：

• 情况一：删去的 2 条边有公共顶点。
• 情况二：删去的 2 条边没有公共顶点。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定总背景 6 人两两交换共有 $C_6^2=15$ 对可能。若全部交换，每人收到 5 份纪念品。 现在只进行了 13 次，说明有 2 对同学没有进行交换。

第二步：分类讨论缺少的 2 对交换 设 6 位同学分别为 A, B, C, D, E, F。

• 情况 1：缺少的两对交换有公共的一人 设缺少的交换是 (A, B) 和 (A, C)。

• A 同学缺少了 2 次交换，最终收到 $5-2=3$ 份。

• B 同学缺少了 1 次交换（与 A 的那次），最终收到 $5-1=4$ 份。

• C 同学缺少了 1 次交换（与 A 的那次），最终收到 $5-1=4$ 份。

• D, E, F 同学没有缺少交换，最终各收到 5 份。 在此情况下，收到 4 份纪念品的同学有 2 人（B 和 C）。

• 情况 2：缺少的两对交换没有公共顶点（相互独立） 设缺少的交换是 (A, B) 和 (C, D)。

• A 同学缺少了 1 次交换（与 B 的那次），收到 4 份。
• B 同学缺少了 1 次交换（与 A 的那次），收到 4 份。
• C 同学缺少了 1 次交换（与 D 的那次），收到 4 份。
• D 同学缺少了 1 次交换（与 C 的那次），收到 4 份。
• E, F 同学没有缺少交换，各收到 5 份。 在此情况下，收到 4 份纪念品的同学有 4 人（A, B, C, D）。

综上所述，收到 4 份纪念品的同学人数为 2 或 4。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数的计算；逻辑推理与分类讨论。
2. 核心方法：“正难则反”。直接计算 13 次交换的情况极其复杂，但通过分析“缺少的 2 次交换”则一目了然。
3. 易错点：容易漏掉情况 2。很多考生直观地认为 2 条边一定对应 2 个端点，忽略了在图论中，2 条不相邻的边会牵扯到 4 个不同的端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 在 $n$ 个顶点的完全图中删去 $m$ 条边，收到 $(n-2)$ 份纪念品的人数即为这 $m$ 条边覆盖的端点中，度数为 1 的顶点个数。
2. 方法推广: 涉及“几乎全部完成”的计数问题，补集思想（总情况 - 未完成情况）是首选。
3. 题目推广: 若题目改为“收到 3 份纪念品的人数”，在情况 1 中为 1 人，在情况 2 中为 0 人。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合 类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

• 2014-江西卷理-13 填-古典概型

• 2014-浙江卷理-14 填-组合及组合数公式