2013-山东卷理-18 解-直线与直线平行

本题导读

本题考查空间位置关系。核心在于几何证明法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 如图所示，在三棱锥 $P-ABQ$ 中，$PB\perp$ 平面 $ABQ$，$BA=BP=BQ$，$D,C,E,F$ 分别是 $AQ,BQ,AP,BP$ 的中点，$AQ=2BD$，$PD$ 与 $EQ$ 交于点 $G$，$PC$ 与 $FQ$ 交于点 $H$，连接 $GH$.

(1)求证：$AB\parallel GH$；

(2)求二面角 $D-GH-E$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明平行）：
   • 利用中点性质：$C,D$ 是中点 $⟹CD\parallel AB$；$E,F$ 是中点 $⟹EF\parallel AB$。
   • 推导出 $CD\parallel EF$，进而得到 $CD\parallel$ 平面 $EFQ$。
   • 利用线面平行的性质定理：$CD\parallel GH$，从而证得 $AB\parallel GH$。
2. 第二问（计算二面角）：
   • 判定垂直关系：由 $AQ=2BD$ 且 $D$ 为 $AQ$ 中点知 $△ABQ$ 为直角三角形，即 $BA\perp BQ$。
   • 建系：以 $B$ 为原点，$BA,BQ,BP$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 坐标运算：求出相关点及向量的坐标，计算平面 $GCD$ 和平面 $GEF$ 的法向量。
   • 求值：利用向量夹角公式求出法向量夹角余弦，注意根据二面角的开口方向判断正负。

✅【答案】

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所以 $CD\parallel GH$。；故其余弦值为 $-\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在 $△ABQ$ 中，$C,D$ 分别是 $BQ,AQ$ 的中点，则 $CD\parallel AB$。 在 $△ABP$ 中，$E,F$ 分别是 $AP,BP$ 的中点，则 $EF\parallel AB$。 所以 $EF\parallel CD$。 又 $EF\subset$ 平面 $EFQ$，$CD\not\subset$ 平面 $EFQ$， 所以 $CD\parallel$ 平面 $EFQ$。 又 $CD\subset$ 平面 $PCD$，平面 $PCD\cap$ 平面 $EFQ=GH$， 所以 $CD\parallel GH$。 因为 $AB\parallel CD$，所以 $AB\parallel GH$。

（2）解：

因为 $D$ 是 $AQ$ 的中点且 $AQ=2BD$，所以在 $△ABQ$ 中，$BD=AD=DQ$，故 $\angle ABQ=90^{\circ }$，即 $BA\perp BQ$。 又 $PB\perp$ 平面 $ABQ$，所以 $BA,BQ,BP$ 两两垂直。 以 $B$ 为原点，建立空间直角坐标系。设 $BA=BP=BQ=2$。 则 $A(2,0,0),B(0,0,0),Q(0,2,0),P(0,0,2)$。 $D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1)$。 在 $△PBQ$ 中，$PC$ 与 $FQ$ 是两条中线，故 $H$ 为重心，其坐标为 $(\frac{0+0+0}{3},\frac{0+1+2}{3},\frac{2+0+0}{3})=(0,1,\frac{2}{3})$。 同理，可得 $G(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$（利用 $PD$ 与 $EQ$ 交点或重心性质）。 由此得 $\overrightarrow{DC}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{CH}=(0,0,\frac{2}{3})$，$\overrightarrow{EF}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{FH}=(0,1,-\frac{1}{3})$。 设平面 $GCD$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{DC}=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{CG}=0\end{array}⟹\vec{m}=(0,2,1)$。 设平面 $GEF$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EF}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EG}=0\end{array}⟹\vec{n}=(0,1,2)$。 $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{2\times 1+1\times 2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}$。 观察图形知二面角 $D-GH-E$ 为钝角， 故其余弦值为 $-\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的性质定理（面面相交则交线平行于已知直线）；二面角的向量求法。

核心方法：“几何先行，坐标跟进”。第一问通过传统的欧氏几何证明位次关系，为第二问建系提供垂直依据。

避坑指南：* 二面角的符号判断：向量夹角范围是 $[0,\pi ]$，其余弦值永远对应向量夹角。必须结合几何图形判断二面角是锐角还是钝角。 * 重心坐标公式：三角形重心的坐标等于三个顶点坐标的算术平均值，这在求复杂交点坐标时非常快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离、异面直线所成的角。

结论推广：线面平行关系的传递性。若两平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

方法推广：对于含有中点的立体几何题，通常有两条思路：一是构造中位线寻找平行/垂直；二是建立坐标系利用中点坐标公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离