2012-广东卷文-05 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 已知变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽1,\\ x+1⩾0,\\ x-y⩽1,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最小值为()

A. $3$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-5$　　　　　　　D. $-6$

🔍【思路分析】

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可行域顶点为 $(-1,-2)$、$(-1,2)$、$(1,0)$，$z$ 在 $(-1,-2)$ 处取最小值 $-5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线 $x+y=1$、$x=-1$、$x-y=1$ 的交点：$x=-1$ 与 $x+y=1$ 交于 $(-1,2)$；$x=-1$ 与 $x-y=1$ 交于 $(-1,-2)$；$x+y=1$ 与 $x-y=1$ 交于 $(1,0)$。可行域是以这三点为顶点的三角形（含边界）。

分别计算 $z=x+2y$：$z(-1,2)=3$，$z(-1,-2)=-5$，$z(1,0)=1$。

所以最小值为 $-5$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点的求法；目标函数在顶点处取得最值

核心方法：两两联立边界方程求顶点，逐点代入目标函数比较

避坑指南：$x+1⩾0$ 即 $x⩾-1$，别看错成 $x⩾1$；顶点 $(-1,-2)$ 容易漏（它由 $x-y=1$ 与 $x=-1$ 交出），漏了会误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 5 题、2014 年四川卷文第 6 题同族。

结论推广：线性目标函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得；$z=x+2y$ 沿 $(1,2)$ 方向增大。

方法推广：线性规划画图时先画三条边界线并标明不等号侧，再标顶点、代值比较，最后回看”最大还是最小”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划