2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程的应用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知曲线 $C_1$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \phi ,\\ y=3\sin \phi \end{array}$（$\phi$ 是参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程是 $\rho =2$，正方形 $ABCD$ 的顶点都在 $C_2$ 上，且 $A,B,C,D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$.

(1) 求点 $A,B,C,D$ 的直角坐标；

(2) 设 $P$ 为 $C_1$ 上任意一点，求 $|PA{|}^2+|PB{|}^2+|PC{|}^2+|PD{|}^2$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) 由极坐标 $(2,\theta )$ 转直角坐标。

2. (2) 设 $P(2\cos \phi ,3\sin \phi )$，代入求范围。

✅【答案】

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(1) $A(1,\sqrt{3})$，$B(-\sqrt{3},1)$，$C(-1,-\sqrt{3})$，$D(\sqrt{3},-1)$

(2) 取值范围为 $[32,52]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $A(2\cos \frac{\pi }{3},2\sin \frac{\pi }{3})=(1,\sqrt{3})$，

依逆时针 $B=(-\sqrt{3},1)$，$C=(-1,-\sqrt{3})$，$D=(\sqrt{3},-1)$。

(2) $|PA{|}^2+|PB{|}^2+|PC{|}^2+|PD{|}^2=16{\cos }^2\phi +36{\sin }^2\phi +16=32+20{\sin }^2\phi$。

$0⩽{\sin }^2\phi ⩽1$，故范围 $[32,52]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的互化

核心方法：参数方程

避坑指南：距离的和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于坐标系与参数方程

结论推广：可推广到椭圆参数方程的求值

方法推广：极坐标转直角坐标：$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-06 填-参数方程化普通方程

• 2005-广东卷-17 解-抛物线的几何性质

• 2005-广东卷-20 解-轴对称的几何性质