2010-福建卷理-21 解-参数方程

本题导读

本题为选考模块解答题（三选二），分别考查矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲三个选考专题的基础知识与通用解法。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 【A】 已知矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 1\end{array}\right)$，$N=\left(\begin{array}{cc}c& 2\\ 0& d\end{array}\right)$，且 $MN=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$.

(1) 求实数 $a,b,c,d$ 的值；

(2) 求直线 $y=3x$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换下的像的方程.

【B】 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$ ($t$ 为参数).在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $\rho =2\sqrt{5}\sin \theta$.

(1) 求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2) 设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A,B$，若点 $P$ 的坐标为 $(3,\sqrt{5})$，求 $|PA|+|PB|$.

【C】 已知函数 $f(x)=|x-a|$.

(1) 若不等式 $f(x)\le 3$ 的解集为 $\{x\mid -1\le x\le 5\}$，求实数 $a$ 的值；

(2) 在 (1) 的条件下，若 $f(x)+f(x+5)\ge m$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

• 【A】：利用二阶矩阵乘法与矩阵相等建立关于 $a,b,c,d$ 的方程组求解；由像点坐标转换消元求出像的方程。
• 【B】：利用 ${\rho }^2=x^2+y^2,y=\rho \sin \theta$ 化极坐标为直角坐标方程；联立直线参数方程与圆方程，利用参数 $t$ 的几何意义求解距离和。
• 【C】：解绝对值不等式对比解集求 $a$；结合绝对值三角不等式求最值，解决恒成立问题。

✅【答案】

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$（1）a=-1，b=-1，c=2，d=2.（2）y=-x.$

✍【详细解析】

Abstract

【A】矩阵与变换

(1) 计算 $MN$： $MN=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 2\\ 0& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}c& 2+ad\\ bc& 2b+d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$

对比对应元素得： $\{\begin{array}{l}c=2\\ 2+ad=0\\ bc=-2\\ 2b+d=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-1\\ c=2\\ d=2\end{array}$

(2) 由 (1) 得 $M=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$。 设直线上点 $P(x,y)$ 在变换下的对应点为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，则： $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y\\ -x+y\end{array}\right)$

代入 $y=3x$ 得： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-3x=-2x\\ y^{\prime }=-x+3x=2x\end{array}⟹y^{\prime }=-x^{\prime }$

故像的方程为 $y=-x$（或 $x+y=0$）。

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【B】坐标系与参数方程

(1) 圆 $C$ 的方程为 $\rho =2\sqrt{5}\sin \theta ⟹{\rho }^2=2\sqrt{5}\rho \sin \theta$。 代入 ${\rho }^2=x^2+y^2,\rho \sin \theta =y$，得： $x^2+y^2-2\sqrt{5}y=0\text{或 }{x}^2+(y-\sqrt{5}{)}^2=5$

(2) 将直线 $l$ 的参数方程代入圆方程 $x^2+y^2-2\sqrt{5}y=0$ 得： ${\left(3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2+{\left(\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2-2\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)=0⟹t^2-3\sqrt{2}t+4=0$

判别式 $\Delta =18-16=2>0$。 设点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，由韦达定理得： $t_1+t_2=3\sqrt{2}>0,t_1{t}_2=4>0⟹t_1>0,t_2>0$

因为参数方程满足 ${\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1$，且起点为 $P(3,\sqrt{5})$， 所以： $|PA|+|PB|=|t_1|+|t_2|=t_1+t_2=3\sqrt{2}$

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【C】不等式选讲

(1) 由 $f(x)\le 3⟹|x-a|\le 3⟹a-3\le x\le a+3$。 又已知解集为 $[-1,5]$，所以： $\{\begin{array}{l}a-3=-1\\ a+3=5\end{array}⟹a=2$

(2) 由 $a=2$ 得 $f(x)=|x-2|$，$f(x+5)=|x+3|$。 根据绝对值三角不等式： $f(x)+f(x+5)=|2-x|+|x+3|\ge |(2-x)+(x+3)|=5$

要使 $f(x)+f(x+5)\ge m$ 对一切实数 $x$ 恒成立，只需 $m\le 5$。 故实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty ,5]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶矩阵乘法及变换、极坐标与直角坐标互化、直线参数方程几何意义、绝对值不等式解法与最值。
2. 核心方法：待定系数法、参数几何意义法、绝对值三角不等式。
3. 避坑指南：

• 参数方程求解距离时，先验证参数方程系数平方和为 $1$，确保参数 $t$ 具备几何意义；
• 三角不等式应用时注意通过消去 $x$ 求最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 福建高考数学选考专题考纲核心试题，注重基本概念与规范解答。
2. 结论推广: 选考模块各考点规则明确，熟练掌握直角/极坐标互化、参数几何意义及三角不等式通法即可稳定获满分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程