2012-江苏卷-05 填-对数函数定义域

本题导读

本题考查对数函数的定义域，以及偶次根式有意义的条件。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 函数 $f(x)=\sqrt{1-2{\log }_{6}x}$ 的定义域为　　.

🔍【思路分析】

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$x>0$ 且 ${\log }_{6}x⩽\frac{1}{2}$，得 $x⩽\sqrt{6}$，故定义域为 $(0,\sqrt{6}]$。

✅【答案】

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$(0,\sqrt{6}]$

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)$ 有意义，首先必须有 $x>0$，并且根式内的数非负，即 $1-2{\log }_{6}x⩾0$。

由于底数 $6>1$，上式等价于 ${\log }_{6}x⩽\frac{1}{2}$，从而 $x⩽6^{1/2}=\sqrt{6}$。

合并两个条件，函数的定义域为 $(0,\sqrt{6}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式的解法；定义域须同时满足多个条件

核心方法：列出”真数大于 0”与”根号内非负”两个条件，分别求解后取交集

避坑指南：${\log }_{6}x⩽\frac{1}{2}$ 化为 $x⩽6^{1/2}=\sqrt{6}$ 而不是 $6$；$x>0$ 这一条不能丢，答案要写成区间 $(0,\sqrt{6}]$ 并注意左开右闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数定义域题，与 2012 年安徽卷文第 2 题、2013 年重庆卷文第 3 题同族。

结论推广：${\log }_{a}x⩽c⟺0<x⩽a^c$（$a>1$）；根式与对数复合时优先写全条件再解。

方法推广：求定义域先列条件清单（真数、根号、分母），逐条化成关于 $x$ 的不等式再取交集，结果用区间或集合表述。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-02 单-交集与对数定义域
• 2012-广东卷文-11 填-函数定义域
• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域