2012-江西卷文-04 单-同角关系与二倍角正切

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 若 $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{1}{2}$，则 $\tan 2\alpha =$()

A. $-\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　C. $-\frac{4}{3}$　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

交叉相乘得 $\tan \alpha =-3$，$\tan 2\alpha =\frac{-6}{1-9}=\frac{3}{4}$，故选 B

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

原式交叉相乘：$2(\sin \alpha +\cos \alpha )=\sin \alpha -\cos \alpha$，即 $\sin \alpha =-3\cos \alpha$。

$\cos \alpha \ne 0$（否则 $\sin \alpha =0$ 矛盾），故 $\tan \alpha =-3$。

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times (-3)}{1-9}=\frac{-6}{-8}=\frac{3}{4}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：齐次式弦化切；二倍角正切公式

核心方法：分子分母同除以 $\cos \alpha$（或交叉相乘）化切，再代 $\tan 2\alpha$ 公式

避坑指南：两个负号相消是本题最容易出错的地方：$\tan \alpha =-3$ 代入后分子 $-6$、分母 $1-9=-8$，结果为正 $\frac{3}{4}$；漏掉分母的负号会错选 (A) $-\frac{3}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系与二倍角综合求值题，与 2012 年辽宁卷文第 6 题、2013 年江西卷文第 3 题同族。

结论推广：一般地，$\frac{a\sin \alpha +b\cos \alpha }{c\sin \alpha +d\cos \alpha }$ 型齐次式都可弦化切；$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$。

方法推广：见”弦的齐次分式”先弦化切，把条件化成 $\tan \alpha$ 的方程，再套倍角公式，全程不用求 $\alpha$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值