2011-重庆卷文-12 填-同角三角求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及三角函数在各象限的符号。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 若 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，且 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 定正弦为负
2. 步骤2：$\sin \alpha =-\frac{4}{5}$
3. 步骤3：再求 $\tan \alpha$

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，所以 $\sin \alpha <0$。 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得 $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$。 故 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；第三象限正弦、余弦均为负，正切为正。

核心方法：象限定号 → 平方关系开方取号 → 商数关系收尾。

避坑指南：开方取负号依据是第三象限正弦为负，不辨象限直接取正得 $\frac{4}{3}$ 分子符号错虽结果同，但若角在别的象限即出错；$\tan \alpha$ 在第三象限为正，答案不带负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系求值是三角函数最基本的运算，2011 大纲卷文 14、2012 辽宁文 06 与本题同型。

结论推广：由 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$（第三象限）可一步写出全部三角函数值：$\sin \alpha =-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =\frac{4}{3}$，$\cot \alpha =\frac{3}{4}$。

方法推广：「一角定象限、平方求另一值、相除得正切」三步走；结果正负由象限统一校验一遍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值
• 2012-江西卷文-04 单-同角关系与二倍角正切