2012-浙江卷文-19 解-数列通项与错位相减

本题导读

本题考查由前n项和求通项。核心在于作差法、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=2n^2+n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_n=4{\log }_2{b}_n+3$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)求 $a_n$，$b_n$；

(2)求数列 $\{a_n\cdot b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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$a_n=4n-1$，$b_n=2^{n-1}$；$T_n=(4n-5)2^n+5$（错位相减）。

✅【答案】

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(1)$a_n=4n-1$，$b_n=2^{n-1}$；(2)$T_n=(4n-5)\cdot 2^n+5$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=2+1=3$。

当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-\left[2(n-1{)}^2+(n-1)\right]=4n-1$；$n=1$ 时 $4\times 1-1=3$ 也适合。

故 $a_n=4n-1$。

由 $a_n=4{\log }_2{b}_n+3$ 得 $4{\log }_2{b}_n=4n-4$，即 ${\log }_2{b}_n=n-1$，故 $b_n=2^{n-1}$。

（2）$a_n{b}_n=(4n-1)\cdot 2^{n-1}$，是等差数列 $\{4n-1\}$ 与等比数列 $\left\{2^{n-1}\right\}$ 对应项之积，用错位相减法：

$T_n=3+7\cdot 2+11\cdot 2^2+\cdots +(4n-1)\cdot 2^{n-1}$，

$2T_n=3\cdot 2+7\cdot 2^2+\cdots +(4n-5)\cdot 2^{n-1}+(4n-1)\cdot 2^n$。

两式相减：$T_n=(4n-1)\cdot 2^n-\left[3+4\left(2+2^2+\cdots +2^{n-1}\right)\right]$。

其中 $2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-2$，故 $T_n=(4n-1)\cdot 2^n-\left[3+4(2^n-2)\right]=(4n-5)\cdot 2^n+5$。

验证：$n=1$ 时 $T_1=(4-5)\times 2+5=3=a_1{b}_1$，正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由 $S_n$ 求 $a_n$；对数式与指数式的互化；错位相减法

核心方法：作差法求通项并检验 $n=1$；解对数方程得等比数列；等差乘等比用错位相减

避坑指南：作差求得的通项必须验证 $n=1$ 是否适用；错位相减后”同次幂对齐相减”，中间夹的是等比和 $4(2^n-2)$ 而不是 $2^n$；结果代 $n=1$、$n=2$ 快速自检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列解答题（通项+错位相减），与 2013 年山东卷文第 20 题、2014 年新课标Ⅰ文第 17 题同族。

结论推广：等差 $\{an+b\}$ 乘等比 $\{q^n\}$ 的求和公式：$T_n=\frac{(a_{n}q)}{q-1}\cdot q^n$ 型（可由错位相减推导）。

方法推广：$S_n$ 为 $n$ 的二次多项式且无常数项时可直接作差；错位相减四步：写出 $T_n$ → 乘公比 → 同位相减 → 化简并验证首项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减
• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式