2012-江西卷理-11 填-定积分

本题导读

本题考查定积分的性质，以及被积函数的奇偶性在对称区间上的积分特征。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 计算定积分 ${\int }_{-1}^1(x^2+\sin x)\text{d}x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 区间对称性观察：积分区间为 $[-1,1]$，关于原点对称。遇到对称区间，优先考虑被积函数的奇偶性。
2. 拆分被积函数：利用定积分的线性性质，将积分拆分为两部分： ${\int }_{-1}^1(x^2+\sin x)\text{d}x={\int }_{-1}^1{x}^2\text{d}x+{\int }_{-1}^1\sin x\text{d}x$
3. 分析奇偶项特征：

• 因为 $f(x)=\sin x$ 是奇函数，根据对称区间积分性质，奇函数在 $[-1,1]$ 上的定积分恒等于 0，即该项可直接消去。
• 因为 $g(x)=x^2$ 是偶函数，根据对称区间积分性质，可转化为区间 $[0,1]$ 上积分的 2 倍。

4. 应用牛顿-莱布尼茨公式：求出 $x^2$ 的原函数 $\frac{1}{3}{x}^3$，代入上下限完成计算。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

根据定积分的线性性质，将原式拆开： ${\int }_{-1}^1(x^2+\sin x)\text{d}x={\int }_{-1}^1{x}^2\text{d}x+{\int }_{-1}^1\sin x\text{d}x$

因为 被积函数 $f(x)=\sin x$ 满足 $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$，为奇函数， 根据奇函数在关于原点对称的区间上积分值为零的性质，有： ${\int }_{-1}^1\sin x\text{d}x=0$

因为 被积函数 $g(x)=x^2$ 满足 $g(-x)=(-x{)}^2=x^2=g(x)$，为偶函数， 根据偶函数在对称区间上的积分特征，可得： ${\int }_{-1}^1{x}^2\text{d}x=2{\int }_0^1{x}^2\text{d}x$

根据微积分基本定理， $x^2$ 的一个原函数为 $\frac{1}{3}{x}^3$，运用牛顿-莱布尼茨公式计算： $2{\int }_0^1{x}^2\text{d}x=2\cdot {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=2\times \left(\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{1}{3}\times 0^3\right)=2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

综上所述， ${\int }_{-1}^1(x^2+\sin x)\text{d}x=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$。

故答案为：$\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对称区间上奇偶函数定积分的化简规律、基本初等函数的原函数寻找。
2. 核心方法：奇偶性对称消元法。只要看到积分上下限互为相反数（形如 ${\int }_{-a}^a$），应当第一时间对被积函数中的奇函数项进行清零，可极大简化运算。
3. 避坑指南：

• 避免对 $\sin x$ 硬求原函数。虽然通过 ${\int }_{-1}^1\sin x\text{d}x=[-\cos x{]}_{-1}^1=-\cos 1-(-\cos (-1))$ 计算，利用 $\cos (-1)=\cos 1$ 也能得出结果为 0，但极易在负号堆叠时发生计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修2-2第一章《导数及其应用》中定积分计算这一核心主干填空题。
2. 结论推广：对称区间积分性质是定积分的高频核心工具。通用模型表达为：若积分区间关于原点对称，即为 $[-a,a]$，则： ${\int }_{-a}^{a}f(x)\text{d}x=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\text{ 为奇函数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)\text{d}x,& f(x)\text{ 为偶函数}\end{array}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义

• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算

• 2014-陕西卷理-03 单-定积分