2012-湖北卷文-05 单-直线与圆面积差

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及圆中弦长的最值。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 过点 $P(1,1)$ 的直线，将圆形区域 $\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽4\}$ 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()

A. $x+y-2=0$　　　　B. $y-1=0$　　　　C. $x-y=0$　　　　D. $x+3y-4=0$

🔍【思路分析】

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两部分面积差最大即弦最短，弦应与 $OP$ 垂直，得 $x+y-2=0$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设直线被圆截得的弦长为 $L$，圆半径 $r=2$，则两部分面积之差随 $L$ 减小而增大（弦越短，割出的两部分大小越悬殊）。

故当弦长最短时面积之差最大。过圆内一点 $P$ 的弦中，与 $OP$ 垂直的弦最短。

圆心 $O(0,0)$，$P(1,1)$，直线 $OP$ 的斜率为 $1$，故所求直线斜率为 $-1$，且过 $P(1,1)$：$y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的几何性质：过定点弦长的最值；直线方程

核心方法：把”面积差最大”转化为”弦长最短”，再用”弦心距越大弦越短”取垂直于 $OP$ 的方向

避坑指南：面积之差最大的方向是弦最短（垂直于 $OP$），而不是弦最长；若求面积之差最小，才取过圆心的直线（即 $x-y=0$ 方向，选项 C 正是这一干扰项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的面积分割问题，与 2013 年陕西卷文第 8 题、2013 年江西卷文第 14 题同族。

结论推广：过圆 $x^2+y^2=r^2$ 内一点 $P$ 的弦：与 $OP$ 垂直时最短，过圆心时最长。

方法推广：圆中”分割面积差”类问题一律转化为弦长最值，再用垂径定理定方向，最后由点斜式写方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切
• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹