本题导读
本题考查空间几何体的三视图与直观图，以及三视图的投影规律。
📌【题干】
Question
（2012年湖南卷(理)） 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能的是()
A. A B. B C. C D. D
/2012-湖南卷理-03-题.png)
🔍【思路分析】
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- 分析已知视图的几何特征：
- 图 1 表明该几何体由上下两部分组合而成。
- 下部分的正视图和侧视图都是矩形，说明底座是一个圆柱或直四棱柱等具有轴对称特征的柱体。
- 上部分的正视图和侧视图也是矩形且居中，说明上部也是一个较细的柱体（圆柱、直四棱柱或正三棱柱等）。
- 逐一逆推与验证选项：
- A 选项：俯视图为同心圆。对应一个大圆柱上方正中叠放一个小圆柱，其正、侧视图均与图 1 吻合。
- B 选项：俯视图为一个圆内部嵌套一个正方形。对应一个大圆柱上方正中叠放一个正四棱柱，其正、侧视图矩形宽窄一致，与图 1 吻合。
- C 选项：俯视图为一个正方形内部嵌套一个底边平行于外框的正三角形。若上部为正三棱柱且一个侧面平行于正视投影面，则从正视图看是矩形，从侧视图看（沿三角形的高投影）也是矩形且宽度相同。
- D 选项：俯视图为一个正方形内部嵌套一个顶点朝上的正三角形。如果俯视图为 D，则从侧面投影时，上部三角形的顶点和底边中点会在侧视图正中间投影出一条可见的棱（实线），这与图 1 中侧视图中间没有实线矛盾。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
根据三视图的投影原理，“长对正、高平齐、宽相等”。已知该几何体的正视图与侧视图完全相同，结构表现为：下部是一个扁矩形，上部是一个居中的细高矩形。这说明该几何体是一个具有高度对称性的组合体。
- 对于 A 选项：若俯视图为两个同心圆，则该几何体是由一个底面半径较大的圆柱与一个底面半径较小的圆柱同轴组合而成的复合物。其正视图与侧视图均不随视角旋转而改变，轮廓均与图 1 严格一致，可能。
- 对于 B 选项：若俯视图为圆内嵌套正方形，则该几何体下部为圆柱，上部为正四棱柱。由于正四棱柱的上下左右对称性，当其外框矩形长宽合适时，正视图与侧视图完全相同，可能。
- 对于 C 选项：若俯视图为大正方形内嵌一个底边与正方形边缘平行的正三角形。此时上部的正三棱柱有一个侧面平行于正前方。从正前方投影（正视图）上部为矩形；从侧面投影（侧视图）时，光线平行于该三角形的底边，其最高脊棱投影到矩形边缘，因此整个侧视图也是一个干净的矩形，中间无任何线条，与图 1 相符，可能。
- 对于 D 选项：若俯视图为大正方形内嵌一个底边与正方形下边缘平行、顶点朝上的正三角形。
- 从正前方投影（正视图），上部正三棱柱的脊棱处于正中间，由于是在正前方，该棱的投影会落在正视图的中央，应画出一条实线。
- 从侧面投影（侧视图），光线垂直于该三角形的底边高，此时正三棱柱的一条侧棱面会平铺。 由于正视图或侧视图必然会有一视角的中间出现棱线（实线），这与图 1 中正、侧视图中间均为留白（没有实线）的特征相矛盾。
综上所述，该几何体的俯视图不可能是 D。
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：空间几何体三视图的还原与识别、特殊几何体（三棱柱、四棱柱、圆柱）在不同视角下的投影特征。
- 核心方法：特征面与轮廓线检验法。在三视图的选择题中，最核心的突破口在于关注“实线（看得见的棱）”与“虚线（被挡住的棱）”的分布。
- 避坑指南：
- 缺乏空间想象力导致错选 C：部分考生容易直观地认为正三棱柱的侧视图一定带有三角形特征或者中间有线。切记，当正三棱柱放置的角度使得投影光线平行于其某一侧面时，其投影完全可以退化为一个纯净的矩形。必须仔细对比 C 和 D 的三角形摆放朝向差异。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《立体几何初步》中关于三视图与直观图的经典能力拔高题。
- 结论推广：
- 正多棱柱视界轮廓对称模型：若一个正 棱柱（ 为奇数）的轴线垂直于底面，要在某个投影面上获得不带中间棱线的纯净矩形阴影，光线必须严格平行于其底面多边形的某条边。而一旦光线垂直于该边，由于奇数多边形的非中心对称性，其相对的顶点必然会在正中央或某个位置投影出一条明显的棱线。掌握这一规律，在处理所有涉及奇数棱柱（如三棱柱、五棱柱）的三视图最值或判定题目时，均能快速得出。
🔗【关联脉络】
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