2012-湖南卷理-09 填-极坐标

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化，以及曲线的交点与坐标轴截距。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=1-2t\end{array}(t\text{ 为参数})$ 与曲线 $C_2:\{\begin{array}{l}x=a\sin \theta \\ y=3\cos \theta \end{array}(\theta \text{ 为参数},a>0)$ 有一个公共点在 $x$ 轴上，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为曲线 $C_1$ 的参数方程为线性结构，所以利用第一个方程变形得 $t=x-1$，代入第二个方程即可消除参数 $t$，得到 $C_1$ 的直角坐标普通方程。
2. 因为公共点在 $x$ 轴上，所以令 $C_1$ 普通方程中的 $y=0$，求出该公共点的精确直角坐标。
3. 因为曲线 $C_2$ 含有三角参数，所以利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 消除参数 $\theta$，得到椭圆的标准方程。最后将求得的公共点坐标代入 $C_2$ 的普通方程，即可求出 $a$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=1-2t\end{array}$， 所以由第一个方程可得 $t=x-1$。 将 $t=x-1$ 代入第二个方程中： $y=1-2(x-1)⟹y=1-2x+2⟹2x+y-3=0$ 故曲线 $C_1$ 的普通方程为 $2x+y-3=0$。

因为两曲线的公共点在 $x$ 轴上， 所以令 $y=0$，代入 $C_1$ 的普通方程中可得： $2x+0-3=0⟹x=\frac{3}{2}$ 故该公共点的直角坐标为 $\left(\frac{3}{2},0\right)$。

因为曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\sin \theta \\ y=3\cos \theta \end{array}$， 所以变形可得 $\sin \theta =\frac{x}{a}$， $\cos \theta =\frac{y}{3}$。 因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$， 所以 ${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=1⟹\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1$。 故曲线 $C_2$ 的普通方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1$。

因为公共点 $\left(\frac{3}{2},0\right)$ 也在曲线 $C_2$ 上， 所以将坐标代入 $C_2$ 的普通方程中可得： $\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{a^2}+\frac{0^2}{9}=1⟹\frac{\frac{9}{4}}{a^2}=1⟹a^2=\frac{9}{4}$

因为题目已知条件约束 $a>0$， 所以对两边开平方根解得： $a=\frac{3}{2}$

答案为：$\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与直角坐标普通方程的互化、代入消参法与三角平方和消参法的应用、曲线交点的代数含义。
2. 核心方法：直角坐标化归法。处理极坐标与参数方程题目时，最基础且通用的策略在于将所有参数方程无条件转化为直角坐标系下的普通方程，再利用常规代数方法进行求解。
3. 避坑指南：

• 因为在化简 $C_2$ 的代数式时需要平分成平方项，所以要注意分母对应的常数是 $a^2$ 和 $3^2=9$。
• 因为开方出来 $a=\pm \frac{3}{2}$，所以必须审视题目中 $a>0$ 的硬性约束，果断舍去负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-4《坐标系与参数方程》中关于参数方程与普通方程互化的章末基础选做填空题。
2. 结论推广：

• 直线与三角参数曲线轴向交点快速模型：在平面直角坐标系中，已知一直线参数方程对应的普通方程为 $Ax+By+C=0$，另有一椭圆参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\sin \theta \\ y=b\cos \theta \end{array}(a,b>0)$。因为它们若存在 $x$ 轴上的公共点，则该交点必然为直线的横截距 $x_0=-\frac{C}{A}$。因为该点同时也是椭圆的顶点，所以代入标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 后，其分母 $a^2$ 与横截距满足高度刚性的绝对守恒： $a\equiv |x_0|=\left|-\frac{C}{A}\right|$
• 因为本题中直线普通方程为 $2x+y-3=0⟹x_0=\frac{3}{2}$，所以利用该模型直接一步直接得出可得 $a=\frac{3}{2}$，完全不需要进行后面的联立计算。掌握此模型可极大提高小题的解题速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换 类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化

• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化

• 2014-福建卷理-21B 解-坐标系与参数方程