2012-辽宁卷文-02 单-补集交集运算

本题导读

本题考查集合的补集与交集运算，以及德摩根律。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知全集 $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，集合 $A=\{0,1,3,5,8\}$，集合 $B=\{2,4,5,6,8\}$，则 $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)=$()

A. $\{5,8\}$　　　　　B. $\{7,9\}$　　　　　C. $\{0,1,3\}$　　　　　D. $\{2,4,6\}$

🔍【思路分析】

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$A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$，其补集为 $\{7,9\}$，故选 B

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$。

由德摩根律，$({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)=\{7,9\}$。

（也可分别求 ${\complement }_{U}A=\{2,4,6,7,9\}$，${\complement }_{U}B=\{0,1,3,7,9\}$，再取公共元素 $\{7,9\}$，结果一致。）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补集与交集的混合运算；德摩根律（交的补等于补的并）

核心方法：先用 $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)$ 化简，再求并集与补集

避坑指南：求 $A\cup B$ 时容易漏掉两集合共有的元素 $5$、$8$（并集不去重才错，去重后仍只写一次）；若分别取补集再交集，别忘了 $7$、$9$ 在两个补集中都出现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：有限集合补集交集运算题，与 2012 年浙江卷文第 1 题、2013 年安徽卷文第 2 题同族。

结论推广：$({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)$，$({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cap B)$；有限集运算时先在草稿上把并集排好序再取补。

方法推广：有限集合的混合运算，优先用德摩根律把”两次补集取交”化成”一次并集取补”，减少列举次数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-01 单-集合补集交集
• 2013-安徽卷文-02 单-补集交集
• 2013-山东卷文-02 单-集合补集交集